Xxxiii olimpíada brasileira de matemática



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Sociedade Brasileira de Matemática
CONTEÚDO



XXXIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA

Problemas e soluções da Primeira Fase



2


XXXIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA

Problemas e soluções da Segunda Fase



15


XXXIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA

Problemas e soluções da Terceira Fase



32


XXXIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA

Problemas e soluções da Primeira Fase – Nível Universitário



55


XXXIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA

Problemas e soluções da Segunda Fase – Nível Universitário



63

XXXIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA

Premiados



79

COORDENADORES REGIONAIS

87

XXXIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA

Problemas e soluções da Primeira Fase


PROBLEMAS – NÍVEL 1
1. Em maio, o valor total da conta de telefone celular de Esmeralda foi R$119,76, sem os impostos. Esse valor corresponde aos itens: chamadas, acesso à internet, envio de mensagens. Se ela gastou R$29,90 com acesso à Internet e R$15,50 com o serviço de envio de mensagens, quanto foi que ela gastou com chamadas?

A) R$74,36 B) R$74,46 C) R$84,36 D) R$89,86 E) R$104,26
2. Numa padaria, uma lata de 200g de achocolatado em pó CHOCOBM custa R$3,00, uma lata de 400g custa R$5,00 e a de 800g custa R$9,00. Lara precisa de 1,2kg de CHOCOBM para fazer um enorme bolo. Qual das opções a seguir é a maneira mais econômica de comprar 1,2kg de CHOCOBM nessa padaria?

A) 6 latas de 200g

B) 1 lata de 400g e 1 lata de 800g

C) 4 latas de 200g e 1 lata de 400g

D) 2 latas de 200g e 1 lata de 800g

E) 2 latas de 200g e 2 latas de 400g
3. O gráfico mostra a variação dos preços de alguns produtos alimentícios no primeiro semestre em uma certa região. Com base no gráfico é possível afirmar com certeza que


A) o milho sempre foi mais barato que o arroz e o feijão

B) o preço do arroz foi o mais estável no período

C) o feijão sempre custou mais caro que o milho

D) nunca houve dois produtos com o mesmo preço

E) o produto com menor variação de preços foi o feijão

4. Uma data curiosa neste ano é o dia 11/11/11, pois o dia, mês e dois últimos dígitos do ano são iguais. No ano passado, esse padrão aconteceu em 10/10/10. Quantos dias há desde 10/10/10 até 11/11/11, incluindo o dia 10 e o dia 11?

A) 396 B) 398 C) 400 D) 402 E) 404
5. Luana colou com fita adesiva 6 triângulos equiláteros nos lados de um hexágono, conforme a figura, obtendo um polígono de 12 lados.




Se ela trocar 3 triângulos por 2 quadrados e 1 pentágono regular, todos com lado de mesmo tamanho do lado do hexágono, ela vai obter um polígono com quantos lados?

A) 14 B) 16 C) 17 D) 18 E) 25
6. Por conta de uma erupção de um vulcão, 10% dos voos de um aeroporto foram cancelados. Dos voos restantes, 20% foram cancelados pela chuva. Que porcentagem do total de voos deste aeroporto foram cancelados?

A) 28% B) 30% C) 35% D) 38% E) 70%
7. O produto de três números naturais é 105 e a sua soma é a maior possível. Qual é essa soma?

A) 15 B) 23 C) 27 D) 39 E) 107
8. O retângulo da figura abaixo está dividido em 10 quadrados. As medidas dos lados de todos os quadrados são números inteiros positivos e são os menores valores possíveis.



A área desse retângulo é:

A) 180 B) 240 C) 300 D) 360 E) 450

9. Numa classe de 36 alunos, todos têm alturas diferentes. O mais baixo dos meninos é mais alto do que cinco meninas, o segundo menino mais baixo é mais alto do que seis meninas, o terceiro menino mais baixo é mais alto do que sete meninas e assim por diante, observando-se que o mais alto dos meninos é mais alto do que todas as meninas. Quantas meninas há nessa classe?

A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20
10. Esmeralda escolheu quatro números e, ao somar cada um deles à média aritmética dos outros três, achou os números 60, 64, 68 e 72. Qual é a média aritmética dos quatro números que ela escolheu no início?

A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 66
11. Luca comprou uma revista por R$9,63 e deu uma nota de R$10,00 para pagar. De quantas maneiras ele pode receber o troco de 37 centavos em moedas, se as moedas disponíveis no caixa são as de 1, 5, 10 e 25 centavos? Suponha que há muitas moedas de cada tipo.

A) 10 B) 12 C) 15 D) 24 E) 30


12. Dois triângulos equiláteros de perímetro 36 cm cada um são sobrepostos de modo que sua interseção forme um hexágono com pares de lados paralelos, conforme ilustrado no desenho. Qual é o perímetro desse hexágono?

A) 12 cm B) 16 cm C) 18 cm

D) 24 cm E) 36 cm




13. Numa corrida com 2011 participantes, Dido chegou à frente do quádruplo do número de pessoas que chegaram à sua frente. Em que lugar chegou o Dido?

A) 20º B) 42º C) 105º D) 403º E) 1005º
14. Quantos números inteiros positivos menores do que 30 têm exatamente quatro divisores positivos?

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13


15. Um cubo de madeira, pintado de vermelho, foi serrado em 27 cubos menores iguais e as faces desses cubos ainda não pintadas o foram de branco. Qual é a razão entre a área da superfície total pintada em vermelho e a área da superfície total pintada de branco?





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