Xxii olimpíada brasileira de matemática



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Listamos os inteiros de 1 a n. Desta lista apagamos o inteiro m. A média dos n – 1 números restantes é . Determine n e m.
PROBLEMA 6

O campeonato Venusiano de futebol é disputado por 10 times, em dois turnos. Em cada turno cada equipe joga uma vez contra cada uma das outras. Suponha que o Vulcano FC vença todas as partidas do 1o. turno. Caso não vença o 2o. turno, o Vulcano FC jogará uma final contra o vencedor do 2o. turno, na qual terá vantagem caso faça mais pontos que o adversário durante todo o campeonato (vitória vale 3 pontos, empate vale 1 ponto e derrota 0 pontos).


a) Determine o menor n tal que, se o Vulcano FC fizer exatamente n pontos no segundo turno, garantirá pelo menos a vantagem na final (independente de contra quem e com que placares conquiste os n pontos).
b) Determine o menor n tal que, se o Vulcano FC fizer pelo menos n pontos no segundo turno, garantirá pelo menos a vantagem na final (independente de contra quem e com que placares conquiste os n pontos).

SOLUÇÕES DO SEGUNDO NÍVEL

Solução do Problema 1

Decomponha N em primos =

Dobro de um cubo quer dizer que todos os ai são múltiplos de 3 exceto a2 que deixa resto 1 na divisão por 3.

Quíntuplo de um quadrado quer dizer que todos são pares exceto a5.

Os menores exponentes possíveis são então a2 = 4; a5 = 3 e os outros a3 = a7 =...= 0.



Resposta: N = 24 53 = 2000.
Solução do Problema 2
Sejam as medidas do paralelepípedo. Temos então que a, b e c são inteiros positivos e .


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