Xxii olimpíada brasileira de matemática



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Solução do Problema 4

Seja x o lado de B. O lado de



C = x – 1, D = x + 5, E = x – 1, F = x – 2, G = 4, H = 2x – 3,

I = x + 9 (=D + G) mas também é 3x – 9 (=F + H G).

Assim x + 9 = 3x – 9 e x = 9. Donde, o lado de I é 18.


Solução do Problema 5:

A média aritmética dos inteiros de 1 a n é (n+1)/2. Quando se apaga um destes números, a menor média possível é a dos números de 1 a (n-1), que é n/2, e a maior é a dos números de 2 a n, que é n/2 +1.



Logo, deve-se ter o que fornece e, portanto, n é igual a 23 ou 24. Mas a média dos números restantes é uma fração de denominador 11. Logo, a quantidade de números que restam no quadro deve ser múltipla de 11. Portanto, n só pode ser igual a 23.

Finalmente, a soma dos números que restam é 22 x 12 2/11 = 268.

A soma dos números de 1 a 23 é 23 x 12 = 276.

Logo, o número apagado foi m = 276 – 268 = 8.



Solução do Problema 6:

No pior caso, o 2o. colocado do 1o. turno faz 24 pontos no 1o. turno. Se o Vulcano FC fizer 23 pontos no 2o. turno, ele ganhará 7 jogos e empatará 2, e o 2o. colocado no 1o. turno chegará a um máximo de 25 pontos (pois no máximo empatará com o Vulcano FC) no segundo turno. Assim, o Vulcano FC terá vantagem na decisão, nesse caso.

Note que se o Vulcano FC fizer 24 pontos no 2o. turno perdendo para o 2o. colocado do 1o. turno, este pode fazer 27 pontos no 2o. turno e ganhar a vantagem para a decisão.

Se o Vulcano FC fizer 22 pontos ou menos e o Klingon FC tiver feito 24 pontos no 1o. turno poderá fazer 27 pontos no 2o. turno, somando 51 pontos, mais que os 49 (ou menos) pontos do Vulcano FC.



Assim, a resposta da segunda pergunta é n = 25, enquanto a resposta da 1a. pergunta é n = 23.




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