Xxii olimpíada brasileira de matemática



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XXII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA


Terceira Fase – Nível 3 (Ensino Médio)

PROBLEMA 1:

Em uma folha de papel a reta r passa pelo canto A da folha e forma um ângulo  com a borda horizontal, como na figura 1. Para dividir este ângulo  em três partes iguais, executaremos as seguintes construções:



  1. inicialmente, marcamos dois pontos B e C sobre a borda vertical de modo que AB = BC; pelo ponto B traçamos a reta s paralela à borda (figura 2);

  2. a seguir, dobramos o papel, ajustando-o de modo que o ponto C coincida com um ponto C’ sobre a reta r e o ponto A coincida com um ponto A’ sobre a reta s (figura 3); chamamos de Bo ponto com o qual B coincide.

Mostre que as retas AA’ e AB’ dividem o ângulo  em três partes iguais.




Figura 1 Figura 2 Figura 3

PROBLEMA 2:

Seja a soma de todos os divisores positivos de

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