Xxii olimpíada brasileira de matemática



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(A)



Trace retas paralelas aos lados a uma distância 1. O perímetro é igual em valor numérico à soma das áreas dos quatro retângulos finos junto aos lados.

Como esta soma é igual à área total do retângulo vemos que a área do pequeno retângulo central é igual à soma das áreas dos quatro quadrados nos cantos. Assim

Como ab temos a – 2 = 4, b – 2 = 1 ou a – 2= 1, b – 2 = 4.




  1. (C) 453  7 = 3171




  1. (D) Se cada linha tiver 5 casas ocupadas teremos 30 casas ocupadas, apenas. Logo, alguma linha tem 6 ou mais casas ocupadas.




  1. (E) O número total de alunos da turma é menor que 30, é par, é maior que 15 e deixa resto 1 quando dividido por 5. Logo, é 26. Temos 11 meninos.




  1. (A) Os números formados são da forma a11, 1a1 ou 11a, onde a é um dos nove algarismos restantes. Para um dado a, a soma dos três números acima é aaa + 222 = 111 (a+2). Logo, a sua soma para todos os nove valores possíveis de a é:

S = 111 [(0 + 2 + 3 + … + 9) + (9  2)] = 111  (44 + 18) = 6882.


  1. (D) Se A é cão, B é cão, C é lobo, D é cão, E é lobo, o que é absurdo, pois E diria que A é um lobo. Assim, A é lobo, B é lobo, C é cão, D é lobo e E é lobo, e portanto há quatro lobos no grupo de animais.

  2. (A) No primeiro mosaico, temos 3 + 3 + 1 + 1 = 8 azulejos pretos; no segundo, temos 4 + 4 + 2 + 2 = 12; no terceiro, temos 5 + 5 + 3 + 3 = 16; não é difícil perceber ( e verificar) que os próximos mosaicos têm 20 e 24 azulejos pretos. Como 8 + 12 + 16 + 20 + 24 = 80, é possível construir exatamente 5 mosaicos. Assim serão necessários 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 azulejos brancos.



NÍVEL 2 (7a. e 8a. séries)


1) B

6) B

11) B

16) B

21) B

2) E

7) A

12) D

17) E

22) D

3) D

8) D

13) C

18) A

23) A

4) C

9) Anulada

14) E

19) D

24) D

5) B

10) C

15) D

20) B

25) B


RESUMO DAS SOLUÇÕES


  1. (B) Veja a solução do problema 4 do nível 1.




  1. (E), logo . Como 90o , temos 45o . Mas 80o. Portanto,  = 180o – (45o + 80o ) = 55o .





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