Xxii olimpíada brasileira de matemática



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GABARITO
Este é o gabarito para os três níveis. Observe que algumas questões são utilizadas em mais de um nível e a solução é dada apenas uma vez.

Consideramos o uso de uma mesma questão em mais de um nível como um fator interessante e que reflete o caráter da Olimpíada de Matemática como uma prova de raciocínio e não de verificação do aprendizado de material ao qual o aluno tenha sido exposto recentemente.


NÍVEL 1 (5a. e 6a. séries)


1) E

6) C

11) A

16) D

2) D

7) A

12) D

17) E

3) C

8) B

13) B

18) A

4) B

9) B

14) A

19) D

5) D

10) D

15) C

20) A


RESUMO DAS SOLUÇÕES


  1. (E) Para que a diferença seja a menor possível, os algarismos das centenas desses números devem diferir em uma unidade. Além disso, o número formado apenas por algarismos pares deve ter a menor dezena possível, ou seja, 02; o número formado apenas por algarismos ímpares deve ter a maior dezena possível, ou seja 97. Assim o menor valor possível para a diferença ocorre quando os números são 402 e 397 ou 602 e 597, e, portanto, é 5.




  1. (D) Basta escolher um ponto de cada circunferência. Isso pode ser feito de 4325=120 maneiras diferentes (no enunciado subentende-se que dos quatro pontos escolhidos de cada vez, não haja três alinhados).




  1. (C) Os números da seqüência, quando divididos por 5, deixam resto igual a 1. O menor número de três algarismos nessas condições é o 101.




  1. (B) Como os números devem ser compostos e ter dois algarismos, eles devem ser múltiplos de 7, mas não múltiplos de 2, de 3 nem de 5. Só podem ser 77 = 49, 711 = 77 e 713 = 91.




  1. (D) O conjunto dado tem 11 números. Os números com quantidade par de zeros são divisíveis por 11. Por exemplo, 1001 é igual a 9111 (na verdade, basta aplicar o critério de divisibilidade por 11). Há 5 números nessas condições; além disso, o número 101 é primo, logo a quantidade de números compostos é maior do que 4 e menor do que 11. (na verdade, 101 é primo e os dez outros números são compostos).




  1. (C) Inicialmente, há 90 kg de água e 10 kg de matéria sólida. As peras devem ser desidratadas até o ponto em que esses 10 kg representem 100%  60% = 40% da massa total, ou seja, até que a massa total seja igual a kg. Logo 90 – (25 – 10) = 75 litros de água serão evaporados.




  1. (A) Para formar um triângulo de lado 2, são necessários 4 T, para formar um triângulo de lado 3 são necessários 9 T, etc. Pode-se provar que para formar um triângulo de lado n, são necessários triângulos T. Logo o triângulo formado por 49 triângulos T tem lado 7.





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