Xxii olimpíada brasileira de matemática



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(B) O plano que secciona o cubo no item B é aquele que contém os segmentos que ligam os pontos médios de arestas paralelas não coincidentes de duas faces adjacentes. Pode-se verificar que as demais planificações não contém representações de interseções de planos com o cubo.




  1. (B) Seja n2 o quadrado perfeito. Como ele termina com 2001, temos n2 = 10000m + 2001  n2 – 1 = 2000(5m + 1)  (n – 1)(n + 1) = 2453(5m + 1). Como mdc(n – 1; n + 1) = mdc(n + 1; n + 1 –

(n – 1)) = mdc(n + 1, 2) = 2 (pois n é ímpar), n – 1 ou n + 1 é divisível por 53 = 125, assim n = 125t + 1 ou n = 125t – 1, onde t é inteiro positivo. Como n é ímpar, t é par, logo o menor valor possível para t é 2. Para n = 125  2 – 1 = 249, temos n2 = 62001, que termina em 2001. Logo o menor quadrado perfeito cujos últimos quatro dígitos são 2001 é 2492 = 62001 que tem 5 dígitos.


  1. (D) Seja S a extensão do circuito, o tempo gasto pelo Papa-Léguas para dar a primeira volta e o tempo gasto para dar as outras 99 voltas. Temos e a velocodade média do Papa-Léguas na corrida é Por outro lado, como nada sabemos sobre o valor de t’, se teremos Assim a opção correta é D.





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