Xxii olimpíada brasileira de matemática



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XXIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA

Primeira Fase – Nível 3

1a. Fase Olimpíada Regional


AM – GO – PA – RJ – RS – SC

09 de junho de 2001

  • Prova de 25 questões.

  • A duração da prova é de 3 horas.

  • Não é permitido o uso de calculadoras nem consultas a notas ou livros.

  • Você pode solicitar papel para rascunho.

  • Entregue apenas a folha de respostas.




  1. Quantos números de dois algarismos não são primos nem múltiplos de 2, 3 ou 5 ?

A) 1 B) 3 C) 2 D) 4 E) mais de 4


  1. O triângulo CDE pode ser obtido pela rotação do triângulo ABC de 90o no sentido anti-horário ao redor de C, conforme mostrado no desenho abaixo. Podemos afirmar que  é igual a:



A) 75o B) 65o C) 70o D) 45o E) 55o


  1. No conjunto {101, 1 001, 10 001, ..., 1 000 000 000 001} cada elemento é um número formado pelo algarismo 1 nas extremidades e por algarismos 0 entre eles. Alguns desses elementos são números primos e outros são compostos. Sobre a quantidade de números compostos podemos afirmar que:

  1. é igual 11

  2. é igual a 4

  3. é menor do que 3

  4. é maior do que 4 e menor do que 11

  5. é 3




  1. Uma pera tem cerca de 90% de água e 10% de matéria sólida. Um produtor coloca 100 quilogramas de pera para desidratar até o ponto em que a água represente 60% da massa total. Quantos litros de água serão evaporados? (lembre-se: 1 litro de água tem massa de 1 quilograma).

A) 15 litros B) 45 litros C) 75 litros D) 80 litros E) 30 litros


  1. Os números inteiros positivos de 1 a 1000 são escritos lado a lado, em ordem crescente, formando a seqüência 123456789101112131415... 9991000. Nesta seqüência, quantas vezes aparece o grupo “89” ?

A) 98 B) 32 C) 22 D) 89 E) 21


  1. Um serralheiro tem 10 pedaços de 3 elos de ferro cada um, mostrados abaixo.



Ele quer fazer uma única corrente de 30 elos. Para abrir e depois soldar um elo o serralheiro leva 5 minutos. Quantos minutos no mínimo ele levará para fazer a corrente?

A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50

  1. O número N de três algarismos multiplicado por 7 deu como resultado um número que termina em 171. A soma dos algarismos de N é:

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14


  1. Os pontos P1, P2, P3, … estão nesta ordem sobre uma circunferência e são tais que o arco que une cada ponto ao seguinte mede 35. O menor valor de n > 1 tal que Pn coincide com P1 é:

A) 37 B) 73 C) 109 D) 141 E) 361


  1. ABCDE é um pentágono regular e ABF é um triângulo equilátero interior. O ângulo FCD mede:

A) 38 B) 40 C) 42 D) 44 E) 46


  1. Um círculo é dividido, por 2n + 1 raios, em 2n + 1 setores congruentes. Qual é o número máximo de regiões do círculo determinadas por estes raios e por uma reta?

A) 3n B) 3n + 1 C) 3n + 2 D) 3n + 3 E) 4n


  1. Papa-Léguas participou de uma corrida (junto com o Ligeirinho e o Flash), que consistia em dar 100 voltas em um circuito. Como sempre, o Coiote queria pegar o Papa-Léguas e colocou um monte de alpiste no meio da pista. É claro que o Coiote não conseguiu pegar o Papa-Léguas, mas ele fez com que a velocidade média dele na primeira volta fosse de apenas 200 km/h. Sabendo disso, a velocidade média do Papa-Léguas na corrida:




  1. Não ultrapassa 200 km/h.

  2. Não ultrapassa 250 km/h, mas pode ultrapassar 200km/h.

  3. Não ultrapassa 2000 km/h, mas pode ultrapassar os 250km/h.

  4. Não ultrapassa 20000 km/h, mas pode ultrapassar os 2000 km/h.

E) Pode ultrapassar 20000 km/h.


  1. O número de soluções inteiras distintas da equação é:

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4



  1. Uma rifa foi organizada entre os 30 alunos da turma do Pedro. Para tal, 30 bolinhas numeradas de 1 a 30 foram colocadas em uma urna. Uma delas foi, então, retirada da urna. No entanto, a bola caiu no chão e se perdeu e uma segunda bola teve que ser sorteada entre as 29 restantes. Qual a probabilidade de que o número de Pedro tenha sido o sorteado desta segunda vez?

A) 1/29 B) 1/30 C) 1/31 D) 1/60 E) 2/31


  1. Cinco animais A, B, C, D, e E, são cães ou são lobos. Cães sempre contam a verdade e lobos sempre mentem. A diz que B é um cão. B diz que C é um lobo. C diz que D é um lobo. D diz que B e E são animais de espécies diferentes. E diz que A é um cão. Quantos lobos há entre os cinco animais?


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