Xvi olimpíada de maio



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Sociedade Brasileira de Matemática
CONTEÚDO




XVI OLIMPÍADA DE MAIO

Enunciados e resultado brasileiro


2



XXI OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA DO CONE SUL

Enunciados e resultado brasileiro



5



LI OLIMPÍADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA (IMO)

Enunciados e resultado brasileiro



7



XXV OLIMPÍADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICA

Enunciados e resultado brasileiro



9



ARTIGOS





ASSOCIANDO UM POLINÔMIO A EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E TRIGONOMÉTRICAS

Marcílio Miranda


11



SOMAS TRIGONOMÉTRICAS: DE PROSTAFÉRESE A FÓRMULA DE EULER

Rogério Possi Junior



18



UMA INTERESSANTE DEDUÇÃO PARA A FÓRMULA DE HERÃO

Flávio Antonio Alves



31



RAÍZES DA UNIDADE

Anderson Torres & Eduardo Tengan



33



COMO É QUE FAZ

42



SOLUÇÕES DE PROBLEMAS PROPOSTOS

45



PROBLEMAS PROPOSTOS

59



AGENDA OLÍMPICA

61



COORDENADORES REGIONAIS

62




XVI OLIMPÍADA DE MAIO

PRIMEIRO NÍVEL




PROBLEMA 1


Um recipiente fechado com formato de paralelepípedo retangular contém 1 litro de água. Se o recipiente se apoia horizontalmente sobre três faces distintas, o nível da água é de 2cm, 4cm e 5cm.

Calcule o volume do paralelepípedo.



PROBLEMA 2


Na etapa 0 escrevem-se os números 1, 1.

Na etapa 1 intercala-se a soma dos números 1, 2, 1.

Na etapa 2 entre cada par de números da etapa anterior intercala-se a soma deles: 1, 3, 2, 3, 1.

Uma etapa mais: 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1.

Quantos números há na etapa 10?

Qual é a soma de todos os números que há na etapa 10?



PROBLEMA 3


É possível pintar os inteiros positivos com três cores de modo que, sempre que se somam dois números de cores distintas, o resultado da soma seja da terceira cor? (Há que usar as três cores.) Se a resposta é afirmativa, indique um possível modo de pintar; se não é possível, explique o porquê.

PROBLEMA 4


Encontre todos os números naturais de 90 dígitos que são múltiplos de 13 e têm os primeiros 43 dígitos iguais entre si e distintos de zero, os últimos 43 dígitos iguais entre si, e os 4 dígitos do meio são 2, 0, 1, 0, nessa ordem.

PROBLEMA 5


Num tabuleiro de 2  7 quadriculado em casas de 1  1 se consideram os 24 pontos que são vértices das casas. João e Matias jogam sobre este tabuleiro. João pinta de vermelho uma quantidade igual de pontos em cada uma das três linhas horizontais. Se Matias pode escolher três pontos vermelhos que sejam vértices de um triângulo acutângulo, Matias vence o jogo. Qual é a máxima quantidade de pontos que João pode pintar para ter certeza de que Matias não vencerá? (Para o número encontrado, dê um exemplo de pintura que impeça que Matias vença e justifique por quê Matias vence sempre se o número é maior.)




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