Programa ciência viva ministério da Ciência e da Tecnologia Projecto iii-472: geometria: manipular e visualizar réplica 2



Baixar 0,54 Mb.
Página1/2
Encontro19.08.2017
Tamanho0,54 Mb.
  1   2

Colégio de S. João de Brito Departamento de Matemática Faculdade de Ciências

PROGRAMA CIÊNCIA VIVA

Ministério da Ciência e da Tecnologia


Projecto III-472: GEOMETRIA: MANIPULAR E VISUALIZAR

RÉPLICA 2




Descrição da réplica 2 e a sua manipulação
O
modelo é constituído por duas barras paralelas que sustentam uma rede de fios, com pesos nas extremidades, que simulam um rectângulo (fig.1). A barra inferior está fixa. A barra superior pode rodar de um ângulo compreendido entre – e  Quando manipulamos a barra superior a rede de fios deixa de simular um rectângulo. No entanto a superfície que descreve está gerada pelos fios, sendo portanto regrada.

Modelação e matematização
Pretendemos estudar o que acontece quando manipulamos este modelo. Para isso vamos expressar matematicamente os objectos que o formam e a acção de rodar que realizamos para obter diferentes superfícies.


  • As barras

Consideremos um referencial o.n. em que:



  • as duas barras estão no plano yOz ;

  • as duas barras são paralelas ao eixo Oy na situação inicial;

  • a origem do referencial está no ponto médio da barra fixa ;

  • ambas as barras têm comprimento 6 ;

  • a distância entre elas é 1.

As barras correspondem a dois segmentos de recta. No referencial o.n as condições que definem estes dois segmentos ( fig.2 ) são:


A barra superior móvel : (x, y, z) = ( 0, t ,1 ) , -3 t  3 “segmento móvel”.

A barra inferior fixa : (x, y, z) = ( 0, t ,0 ) , -3 t  3 “segmento base”.




  • Os fios

Cada um dos fios une um ponto da barra inferior com um outro da barra superior. Como estão esticados por pesos, podemos considerar que, na posição inicial, são segmentos de recta paralelos ao eixo Oz. Apesar de no modelo os fios serem em número finito (fig. 2), para o estudo matemático consideramos que há infinitos segmentos, um para cada t [-3 ]


Na posição inicial cada um destes segmentos está definido por:

(x , y , z) = ( 0, t ,u ) , 0  u  1





  • A rede

A rede gerada pelos fios simula um rectângulo gerado pelos segmentos. Este rectângulo, assente no plano yOz (Fig. 3), está definido pelas equações paramétricas:


(
x, y, z) = ( 0, t , u ) Parâmetros: -3  t  3 , 0  u  1


fig. 2 fig. 3

  • Rodar a barra móvel

O que acontece quando rodamos a barra superior do modelo?

Ao rodarmos a barra superior os extremos dos fios ligados a ela também rodam. Os extremos da barra fixa permanecem na mesma posição. Se a barra roda de  radianos, cada um dos extremos superiores dos fios roda do mesmo ângulo. Os fios permanecem esticados devido aos pesos. A rede deixa de ser uma superfície plana, gera-se uma nova superfície.
Cada um dos pontos do “segmento móvel” ao rodar descreve uma circunferência no plano de cota 1 com centro no ponto (0,0,1) e raio t cuja equação é:
(x , y , z) = (tsen() , tcos() ,1 ) , -   

Quando a barra roda de  radianos a nova superfície está gerada pelos segmentos de extremos (0, t, 0) e (tsen() , tcos() ,1 ). Para  [- , ] e t [-3 , 3] estes segmentos estão definidos por:

(x , y , z) = (0, t, 0) + k(tsen() , tcos()  t , 1 ) , 0 k  1 
(x , y , z) = ( ktsen() , t + ktcos() kt , k ) , 0 k  1

Na figura 4 e seguintes visualizamos o que acontece para vários valores de Nas figuras está representada a circunferência descrita pelos extremos da barra móvel para ilustrar melhor a ideia de movimento.



fig. 4 Posição inicial  fig. 5 






 fig. 6  fig. 7  
 fig. 8   fig. 9  



  • Equações paramétricas da superfície gerada.

Pretendemos agora determinar a superfície gerada depois de rodar a barra móvel de  radianos. As suas equações paramétricas são:


para  [- , ]
Multiplicando a segunda equação por ksen()  0

Podemos concluir que esta superfície é definida por:
sen()yz = x + cos()xz - xz x – (1 cos() ) xz sen()yz = 0


  1   2


©livred.info 2017
enviar mensagem

    Página principal