Operaçoes com taxas de juros



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Aula 4 - OPERAÇOES COM TAXAS DE JUROS:



INTRODUÇÃO:
Dentre as inúmeras variáveis que fazem parte de uma operação financeira, a mais importante é a taxa de juros. Nem sempre a taxa de juros informada está pronta para ser utilizada no cálculo financeiro. Este capitulo tem como objetivo estudar as possíveis modificações que a taxa de juros deverá sofrer como por exemplo, quando ocorrer situações como em que o prazo da operação não coincide com a unidade de tempo da taxa de juros, ou quando a unidade de tempo da taxa de juros não coincide com o período de capitalização. Mostraremos as aplicabilidades das taxas de juros do ponto de vista da matemática financeira.
TAXA EQUIVALENTE:
A taxa equivalente não é um tipo de taxa de juros é apenas uma forma de operacionalizar as taxas quando os prazos que se referem as taxas não coincidem com o prazos da operação financeira.. Diante de tal situação, as taxas serão convertidas para os prazos da operação para que fiquem uniformes com relação ao tempo. Essa conversão é feita através de um processo de equivalência.
A Matemática Financeira diz que duas ou mais taxas são equivalentes quando, aplicadas sobre um mesmo capital, pelo mesmo período de tempo, produzimos o mesmo montante. Tal conceito pode ser aplicado tanto no regime de juros simples como no regime de juros compostos.

TAXA EQUIVALENTE A JUROS COMPOSTOS
Como já foi dito anteriormente, a conceituação de equivalência de taxas estabelece que duas taxas referentes a períodos distintos de capitalização são equivalentes quando produzem o mesmo montante no final de determinado tempo, pela aplicação de um capital de mesmo valor.
O conceito de taxas equivalentes é válido para os dois regimes de capitalização existentes, porém o que os diferencia é com relação a aplicação, da metodologia de cálculo. Já vimos a metodologia a ser aplicada a Juros Simples, veremos agora a metodologia a ser aplicada a Juros Compostos:

EXEMPLO: Uma aplicação de R$ 1.000 aplicada pelo prazo de um ano. Se o capital for aplicado à taxa de 12,682% ao ano, ou à taxa de 1% ao mês, verificar se as duas taxas são equivalentes.
Solução: Considerando que a aplicação é feita pelo prazo de 1 ano e como as duas taxas devem produzir o mesmo montante, ao final do mesmo prazo, ou seja 1 ano ou 12 meses, tem-se:

FV1 = PV x ( 1 + ia )n = 1.000 x ( 1 + 0,12682) 1


FV1 = R$ 1.126,82
Onde PV = 1.000 I1 = 12% ano n1 = 1 ano
FV2 = PV x ( 1 + ia )n = 1.000 x ( 1 + 0,01) 12
FV2 = R$ 1.126,85
Onde PV = 1.000 i2 = 1% ao mês n2= 12 meses
Do exemplo anterior depreende-se que as taxas efetivas de 12% ao ano e 1% ao mês são equivalentes, pois resultam no mesmo montante (FV1 = FV2= R$ 1.126,85) a partir do mesmo capital no final de 1 ano ou 12 meses.
A partir dessa colocação,podemos determinar qualquer taxa equivalente ,quando dada uma outra taxa, aplicando o conceito de equivalência a juros compostos.

EXPRESSÃO DE CÁCULO DE TAXAS EQUIVALENTES:
A partir do conceito de taxas equivalentes, podemos deduzir uma fórmula geral para sua obtenção.
Observe, portanto, que, para o calculo de taxa equivalente, a juros compostos, basta comparar os fatores de valor futuro ( 1 + i1) n ou seja

( 1+ i1) n1 = ( 1 + i2) n2


Assumindo por convenção que:

Isolando a variável i 1 como a taxa de juros equivalente procurada, teremos:


Pode-se resolver qualquer problema de equivalência de taxa de juros compostos com o auxilio de uma fórmula geral:

i1 =( ( 1 + i2) n1/n2 –1) x 100



EXEMPLOS DE APLICAÇAO:
1º) Qual a taxa anual equivalente a juros compostos a 2,0% ao mês?
Tem-se:

I1 = ? n1 = 1 ano = 12 meses

I2 = 20% n2 = 1 mes
Quantos meses tem 1 ano = 12 meses, portanto n1 = 12 meses
i1 =( ( 1 + i2) n1/n2 –1) x 100

i 1 = ( ( 1 + 0,020) 12/1 ) –1 x 100


i 1 = 1, 268242 –1 x 100
i1 = 26,82% ao ano
Resolvendo pela HP 12 C:
20 ENTER

100 DIVIDE

1 +

12 ENTER


1 DIVIDE

YX ELEVA ( POTENCIA)

1 –

100 X = 26, 82% AO ANO


2º) Qual a taxa mensal equivalente a taxa de juros compostos de 26,82% ao ano?
I1 = ? n1 = 1 mes

I2 = 26,82% n2 = 1 ano = 12 meses


Quantos meses tem 1 ano = 12 meses, portanto n2, passa a para 12 meses
i1 =( ( 1 + i2) n1/n2) –1 x 100
i 1 = ( ( 1 + 0,2682 ) 1/12 – 1 ) x 100
i1 = ( 1, 02 – 1 ) x 100
i1 = 2% ao ano
HP 12 C:

Resolvendo pela HP 12 C:
26,82 ENTER

100 DIVIDE

1 +

1 ENTER


12 DIVIDE

YX ELEVA ( POTENCIA)

1 –

100 X = 2 % ao mês.


3º) Qual a taxa de juros compostos a ser cobrada em um período de 93 dias, sabendo que a sua equivalente para 52 dias é de 9%?

I1 = ? n1 = 93 dias

I2 = 9% n2 = 52 dias
Resolução: i1 =( ( 1 + i2) n1/n2 –1) x 100

i 1 = ( ( 1 + 0,09 ) 93/52 –1) x 100


I1 = ( 1,09 1,788461 –1) X 100
I1 = ( 1,166637 –1 ) X 100 = 16,55% para 93 dias

.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:




  1. Uma aplicação rende 2,20% ao mês a juros compostos, qual é a taxa equivalente diária? 0,0726%

2) Uma aplicação financeira rende juros compostos de 0,8% ao mês, qual a taxa equivalente anual? 10,03%


3) Qual a taxa diária equivalente a juros compostos: a) 30% ao mês b) 18% ao ano c) 4,5% ao semestre.

a)0,88% b)0,045357% c)0,024457%

4) Qual a taxa para 63 dias equivalente a juros compostos a 8% ao mês? 17,54%
5) Qual a taxa semestral equivalente a juros compostos a 10% ao bimestre? 33,10%
6) A taxa anual de juros compostos para aplicações em Certificados de Depósitos Bancários está em 20% ao ano. Determine a taxa equivalente para os seguintes prazos de aplicações:

a) 30 dias b) 90 dias c) 120 dias a) 1,531% b) 4,664% c) 6,266%


7) Você aplicou suas economias em determinada aplicação financeira que lhe rendeu 5,8% em 39 dias. Qual o ganho equivalente mensal a juros compostos que você auferiu? 4,43%
8) Um fundo de investimento rende em média 0,07% ao dia por dia útil. Qual o rendimento percentual projetado para um período de 22 dias úteis, segundo o regime de juros compostos? 1,55%
9) Uma aplicação por 165 dias rendeu 31,125% de juros. Calcule a taxa juros compostos equivalente a) anual b) taxa mensal a) 80,62% b) 5,05%
10) O Salt Bank remunera suas aplicações com uma taxa de 30% ao ano, no regime de juros compostos e assume um ano de 360 dias. Determine os rendimentos para uma aplicação com os prazos a) 45 dias b) 180 dias c) 225 dias R: a)3,33% b) 14,02% c) 17,82%
11) Uma instituição financeira oferece a um aplicador uma remuneração de 2,2%, a juros compostos pelo prazo de 25 dias, para qualquer valor de sua aplicação. Determine a rentabilidade diária e mensal dessa aplicação? R 0,087% ad e 2,65 %am
12) Sendo 18% a inflação de determinado ano, calcular a taxa equivalente mensal?
13) A inflação de certo mês atingiu 9% . Tendo este mês 20 dias úteis, determinar a taxa de inflação por dia útil? R 0,43% ao dia útil
14) Uma instituição financeira divulgou os rendimentos mensais dos seus Fundos de Investimentos, conforme a tabela abaixo. Pede-se determinar as rentabilidades equivalentes para os períodos: ano, semestre, diário.


Fundos Renda Fixa

Rentabilidade

Mensal


Rentabilidade

Diária


Rentabilidade

Semestral



Rentabilidade

Anual


Extra Mix

1,01%










Supremo Mix

1,19%










FIF Mix

1,36%










Expert DI

1,07%

























15) Em regime de capitalização composta o que é preferível aplicar R$ 1.000,00 durante 1 ano, a taxa de 2,5% ao mês ou a taxa de 8% ao trimestre? 8% at = 2,6% am
16) Em regime de capitalização composta, o que é preferível : aplicar R$ 1.000 durante um ano , à taxa de 1,55% ao mês ou ao bimestre , à taxa de 3,15% ? R = 3,15%
17)Um investidor aplicou R$ 25.000 na Bolsa de Valores esperando ganhar uma rentabilidade de 100% ao ano. Caso tal rentabilidade ocorresse, calcular os juros ganhos ao final de de 20 meses?
18) Um banco oferece uma rentabilidade de 40% ao ano. Considerando que o investidor tem condições de ganhar juros de 9% ao trimestre em outro banco, qual deve ser a alternativa escolhida?
19) Uma aplicação em renda fixa pelo prazo de 63 dias foi negociada com uma taxa de juros de 5,35% aos 63 dias. Qual é a taxa de juros equivalente para 365 dias? 35,25% aa
20) Uma aplicação por 90 dias foi realizada a uma taxa de juros de 25,8% aos 365 dias. Pede-se calcular a taxa efetiva para 90 dias?
21) Um financiamento foi realizado com uma taxa de juros igual a 60% ao ano. Calcular a taxa a taxa mensal equivalente? 4% am
22) A caderneta de poupança paga em média 1,2% ao bimestre. Calcule a taxa anual? R = 7,41%
23) Um capital fica aplicado a 2% ao mês por 4 anos e meio. Calcule qual será seu rendimento? R = 191,34%
24) A administradora de cartões de crédito Mástercredit cobra uma taxa de 13% ao mês de juros sobre a fatura em atraso. Calcule a taxa anual praticada por essa empresa? R = 333,45%.
25) Calcule a taxa mensal e taxa anual equivalente para as seguintes taxas:
a) 12% ao bimestre

b) 0,96% ao dia



c) 48% ao semestre

d) 24% ao trimestre



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