OperaçÕes com conjuntos



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MATEMÁTICA




Operações com números inteiros, fracionários e decimais;

sistema de medidas usuais;

números relativos,

regra de três simples e composta;

porcentagem; juros simples;

equação de 1º e 2º graus; resolução de situações-problema;

raciocínio lógico.


OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS, FRACIONÁRIOS E DECIMAIS

Conjuntos numéricos podem ser representados de diversas formas. A forma mais simples é dar um nome ao conjunto e expor todos os seus elementos, um ao lado do outro, entre os sinais de chaves. Veja o exemplo abaixo:



A = {51, 27, -3}
Esse conjunto se chama "A" e possui três termos, que estão listados entre chaves.
Os nomes dos conjuntos são sempre letras maiúsculas. Quando criamos um conjunto, podemos utilizar qualquer letra.
Vamos começar nos primórdios da matemática.

- Se eu pedisse para você contar até 10, o que você me diria?



- Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove e dez.
Pois é, estes números que saem naturalmente de sua boca quando solicitado, são chamados de números NATURAIS, o qual é representado pela letra .
Foi o primeiro conjunto inventado pelos homens, e tinha como intenção mostrar quantidades.

*Obs.: Originalmente, o zero não estava incluído neste conjunto, mas pela necessidade de representar uma quantia nula, definiu-se este número como sendo pertencente ao conjunto dos Naturais. Portanto:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
Obs.2: Como o zero originou-se depois dos outros números e possui algumas propriedades próprias, algumas vezes teremos a necessidade de representar o conjunto dos números naturais sem incluir o zero. Para isso foi definido que o símbolo * (asterisco) empregado ao lado do símbolo do conjunto, iria representar a ausência do zero. Veja o exemplo abaixo:

N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Estes números foram suficientes para a sociedade durante algum tempo. Com o passar dos anos, e o aumento das "trocas" de mercadorias entre os homens, foi necessário criar uma representação numérica para as dívidas.
Com isso inventou-se os chamados "números negativos", e junto com estes números, um novo conjunto: o conjunto dos números inteiros, representado pela letra .
O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números NATURAIS mais todos os seus representantes negativos.
Note que este conjunto não possui início nem fim (ao contrário dos naturais, que possui um início e não possui fim).
Assim como no conjunto dos naturais, podemos representar todos os inteiros sem o ZERO com a mesma notação usada para os NATURAIS.

Z* = {..., -2, -1, 1, 2, ...}
Em algumas situações, teremos a necessidade de representar o conjunto dos números inteiros que NÃO SÃO NEGATIVOS.
Para isso emprega-se o sinal "+" ao lado do símbolo do conjunto (vale a pena lembrar que esta simbologia representa os números NÃO NEGATIVOS, e não os números POSITIVOS, como muita gente diz). Veja o exemplo abaixo:

Z+ = {0,1, 2, 3, 4, 5, ...}
Obs.1: Note que agora sim este conjunto possui um início. E você pode estar pensando "mas o zero não é positivo". O zero não é positivo nem negativo, zero é NULO.
Ele está contido neste conjunto, pois a simbologia do sinalzinho positivo representa todos os números NÃO NEGATIVOS, e o zero se enquadra nisto.
Se quisermos representar somente os positivos (ou seja, os não negativos sem o zero), escrevemos:

Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
Pois assim teremos apenas os positivos, já que o zero não é positivo.
Ou também podemos representar somente os inteiros NÃO POSITIVOS com:

Z - ={...,- 4, - 3, - 2, -1 , 0}
Obs.: Este conjunto possui final, mas não possui início.
E também os inteiros negativos (ou seja, os não positivos sem o zero):

Z*- ={...,- 4, - 3, - 2, -1}
Assim:
Conjunto dos Números Naturais

São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N.


Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N:

N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...}

N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}
Conjunto dos Números Inteiros

São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos).


São representados pela letra Z:

Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:
- Inteiros não negativos

São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais.


É representado por Z+:

Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...}
- Inteiros não positivos

São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-:



Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}
- Inteiros não negativos e não-nulos

É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+:



Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Z*+ = N*
- Inteiros não positivos e não nulos

São todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-.



Z*- = {... -4, -3, -2, -1}
Conjunto dos Números Racionais

Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como "12,050505...", são também conhecidas como dízimas periódicas.


Os racionais são representados pela letra Q.
Conjunto dos Números Irracionais

É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265 .... Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o PI.


Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ...)
Conjunto dos Números Reais

É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais).


Representado pela letra R.
Representação geométrica de

A cada ponto de uma reta podemos associar um único número real, e a cada número real podemos associar um único ponto na reta.



Dizemos que o conjunto é denso, pois entre dois números reais existem infinitos números reais (ou seja, na reta, entre dois pontos associados a dois números reais, existem infinitos pontos).
Veja a representação na reta de :

Fonte:

http://www.infoescola.com/matematica/conjuntos-numericos/


CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N)


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