Obstáculos epistemológicos na educaçÃo matemática



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Após aprender o símbolo somatório o aluno questiona porque ao invés de escrever , ele não poderia escrever , uma vez que é arbitrário, escrevendo torna a definição mais complicada. Qual seria então a diferença entre “ para ” e “ para ”? Podemos presumir que, escrito do segundo modo o número dos coeficientes e, portanto, dos vetores xi sejam infinitos? Isto somente seria possível se acreditarmos em uma convenção secreta que não tenha partido formalmente desta segunda inscrição.

É interessante observar que o aluno não percebeu ou não prestou atenção a partes importantes da definição, como a que os coeficientes têm que ser números entre 0 e 1. O significado da definição formal foi sendo restaurada lentamente, através de interpretações geométricas em termos de triângulos e polígonos convexos.

A segunda dificuldade apresentada, a de compreender que há a necessidade de uma primeira conjectura para se iniciar uma definição, Sierpinska apresenta como exemplo a definição do vetor no espaço n-dimensional sobre R. Por ser uma definição longa, o aluno, a cada frase lida, começa a formar hipóteses, antes mesmo de finalizar a sua leitura, mostrando que o processo da compreensão de um termo matemático se inicia no instante em que o aluno começa a ler sua definição, não esperando o término da leitura para se iniciar.

Ao ler a definição que “o espaço vetorial Vn n-dimensional é o espaço aritmético n-dimensional, em cujos elementos duas operações são definidas: adição e multiplicação por um número real ou qualquer elemento de um corpo, denominado escalar. Os elementos de Vn são chamados vetores.”, o aluno diz não saber o que vem a ser operações definidas nos elementos, ele pergunta: posso multiplicar ou adicionar alguma coisa a eles? O monitor pergunta ao aluno o que seria para ele o espaço vetorial n-dimensional, obtendo como resposta que eles podem ser hiperplanos, retas e até mesmo pontos.

Sierpinska acredita que a falha agora está nos autores dos livros, por não acreditarem que os alunos possam pensar em subconjuntos como sendo elementos de um espaço aritmético; esse fato muitas vezes não é considerado pelos próprios professores, ao ensinarem esse conceito, acarretando na desistência de vários alunos dessa disciplina.

Mesmo antes do término de sua leitura, o aluno já havia feito conjecturas que as operações consistiam em adicionar o mesmo número de cada coordenada, ou multiplicar cada coordenada pelo mesmo número real, o que ele não estava errado, pois não há nada na definição que diga o contrário. O processo de compreensão só tem início quando há alguma suposição daquilo que o termo possa significar, daí as perguntas dos alunos aos professores “o que quer dizer isto?” quando eles se deparam com alguns termos desconhecidos, fazendo com que parem de ler a definição do termo. Por exemplo, ao ler a definição da equação paramétrica de um segmento de reta em R1, o aluno pergunta: o que quer dizer definir parametricamente? O que é um parâmetro? Para o aluno, a álgebra linear não passa de “um bando de nomes estranhos”.

No primeiro contato com o texto sobre a noção de conjunto de vetores linearmente dependentes são apresentadas ao aluno, simultaneamente, duas definições: a primeira que diz que um sistema é linearmente dependente e a segunda logo, em seguida, que define um sistema de vetores linearmente independentes. O aluno lê a definição de um sistema linearmente dependente: Um sistema (a1,...,ak) de vetores em V é chamado linearmente dependente se existir números lâmbda, nem todos iguais a zero, de forma que a soma de i igual a 1 até k do lâmbda multiplicado por ai é igual a zero.

Da leitura desse texto surgem várias discussões entre o aluno e o monitor, no início, parecia que o aluno estava conseguindo diferenciar um sistema linearmente dependente de um independente, apesar de achar que seria muito difícil encontrar vetores linearmente independentes, ou seja, encontrar alguns vetores multiplicados por alguns números que dariam zero.

Somente após de algum tempo, o aluno entendeu o que podia ser considerado como linearmente dependente ou independente e, ao ser indagado pelo monitor, ele responde: não é uma combinação linear, nem uma equação, mas um sistema de vetores. Utilizando como exemplo, a solicitação do monitor, o aluno apresenta como sendo dois vetores linearmente dependente 0 (1,2) + 0 (-1,-2), e para linearmente independentes o sistema 0 (1,2) + 0 (3,4) e conclui: o primeiro é linearmente dependente, pois os lâmbdas não precisam ser necessariamente iguais a zero para que resulte no vetor zero e, no segundo, é linearmente independente, pois os lâmbdas devem ser iguais a zero para que resulte no vetor zero.

Esse exemplo mostra que os professores devem ficar atentos ao processo de aprendizagem, pois nesse processo pode aparecer uma pseudoaprendizagem por parte dos alunos e o professor acreditar que ele tenha aprendido, ocorrendo o mesmo com os alunos que aparentam não ter aprendido nada.

É importante que o professor fique atento aos problemas ligados aos conteúdos, como também aos problemas epistemológicos que podem aparecer no próprio conhecimento que se está ensinando. Esses problemas podem não ser percebidos pelos professores, mas podem provocar dificuldades, que se tornarão obstáculo para os alunos.

A terceira dificuldade relacionada à compreensão e construção de provas; para os alunos o que diferencia a álgebra linear das outras disciplinas é a necessidade de se entender e construir provas. Os alunos dizem que na álgebra linear há a necessidade de se demonstrar e que nem sempre se sabe como começar e, ao terminar, não se tem certeza se o que você estava querendo provar está correto ou não. Para os alunos, é muito difícil provar alguma coisa pela primeira vez; provar só se torna mais fácil quando já se viu como se prova anteriormente. Para alunos que não tiveram experiências no ensino médio com provas, a dificuldade é ainda maior.

A cada atividade apresentada, o monitor questionava o aluno com perguntas; “você tem certeza que ...?, fazendo com que o aluno tivesse a necessidade de apresentar provas para se justificar. O aluno procurava sempre se esquivar das provas analíticas que usavam índices duplos e muitas letras diferentes, preferindo os argumentos geométricos ou mais sintéticos.

A utilização das provas na álgebra linear aparece como um dos fatores que levam os alunos à não gostarem dessa disciplina, pois as provas para eles são muito complicadas e cansativas.

No fechamento da pesquisa, Sierpinska traz à tona um outro problema ligado ao ensino e que tem relações com os obstáculos didáticos, que é a transposição didática. Segundo Chevallard (1991, p.39)7, um conteúdo do conhecimento, tendo sido designado como saber a ensinar sofre então um conjunto de transformações adaptativas que vão torná-lo apto a tomar lugar entre os objetos de ensino. O trabalho que, de um objeto de saber a ensinar faz um objeto de ensino, é chamado transposição didática.

Para Sierpinska, na transposição didática, muitas vezes não se considera que o contexto é mudado, a motivação, o porque do conhecer é diferente. Há uma influência dessa relação entre pesquisar e ensinar no desenvolvimento da ciência, que devem ser consideradas na compreensão da história da matemática.

O aparecimento de alguns obstáculos didáticos na álgebra linear, segundo Sierpinska, se explica pelo fato de essa disciplina, de certa forma, ter sido distorcida pela transposição didática, e por que, para se compreender algumas aplicações da álgebra linear, se faz necessário que o aluno tenha uma base sólida de conhecimento matemático.
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
Nos cursos de graduação, a noção de espaço vetorial é apresentada isolada das outras áreas da matemática; os alunos trabalham com espaços vetoriais de dimensão finita, sem que essa teoria seja aproveitada. Esse pode ser um motivo pelo qual os alunos não conseguem enxergar o objetivo da álgebra linear.

As dificuldades dos alunos na aprendizagem da álgebra linear, além de se deparar com a abstração matemática, de construírem conhecimento axiomaticamente, vão ter ainda de aprender a argumentar dedutivamente sob uma perspectiva epistemológica, em que a natureza dos objetos de aprendizagem matemática estende-se muito além do objeto físico e do numérico, o que reforça a idéia do aparecimento do senso comum como um dos obstáculos para a construção do conhecimento científico que é transposto para a sala de aula.

Um dos pontos que se refere às dificuldades dos alunos quanto à álgebra linear é a dificuldade que os alunos possuem em darem um salto, da necessidade de visualização do objeto para representá-lo ou entendê-lo, para um trabalho com estruturas geométricas que não possuem uma correspondência com esse objeto. Realmente, o fato de os alunos se depararem com situações em que os conteúdos dos conceitos teóricos não se referem mais a coisas, mas a relações entre coisas, faz surgir o obstáculo, pois há uma transição de um pensamento empírico, em termos de objetos concretos, para um pensamento em termos das relações entre objetos. Os conceitos teóricos passam a não ser nomes de objetos ou de qualidades dos objetos, mas denotam relações entre objetos, o que chamamos de pensamento relacional. (OTTE, 1992)

No desenvolvimento da ciência, podemos observar essa dificuldade na ciência grega, no que se refere a visão que tinham da matemática, segundo Harel (1999) “os conceitos são formados em contínua dependência, e interpretados de um ponto de vista de seus fundamentos “naturais”, e o seu significado científico é abstraído da "natureza", experiência pré-científica”. Essa passagem, da necessidade pelo visual, vai modificando-se, pois, na ciência moderna isto não ocorre, os conceitos não são objetos derivados a partir da experiência imediata, um objeto científico pode ser determinado através da sua conexão a outros conceitos.

Análogo ao que ocorreu na história da matemática, essa passagem do pensamento empírico, para um pensamento em termos das relações entre objetos, vai causar um obstáculo no conhecimento escolar, devido os conceitos teóricos, não serem nomes de objetos ou de qualidades dos objetos, mas denotarem relações entre objetos.

Outro ponto da pesquisa que deve ser ressaltado é quanto à dificuldade dos alunos com provas, esse ponto aparece também confirmado na pesquisa de Harel. Através da análise histórica são descritos pontos que mostram um possível paralelismo entre estas dificuldades e os fenômenos históricos no desenvolvimento da matemática. Segundo Harel é possível encontrar alguns dos obstáculos enfrentados pela comunidade matemática que apareceram na história, quanto ao desenvolvimento da concepção dos alunos em relação a provas.

As pesquisas desenvolvidas na Educação Matemática sobre obstáculos no conhecimento escolar possibilitam entender as várias nuances que aparecem no processo ensino/aprendizagem como à passagem do pensamento empírico ligado à visualização dos objetos, para um pensamento em termo das relações entre objetos; da linguagem cotidiana, as crenças, as opiniões e concepções dos alunos como obstáculos em relação à linguagem matemática, a consideração do erro no ensino como algo positivo, a transposição didática como um possível obstáculo didático, a proposta de mudança da postura do professor fornecendo meios para que os alunos resolvam os problemas ao invés da pura e simples transmissão de conhecimento, e a importância do professor conhecer como ocorre o desenvolvimento histórico da construção do conhecimento matemático, para assim, identificar os momentos que surgiram os obstáculos epistemológicos, analisando-os sobre um possível paralelismo entre esses obstáculos com os obstáculos didáticos, que podem se manifestar no conhecimento escolar.

Portanto, a noção de obstáculo didático possibilita se descobrir e compreender as dificuldades encontradas pelos alunos no processo de ensino/aprendizagem do conhecimento matemático, com o intuito de buscar instrumentos didáticos que auxiliarão os alunos a superá-los.


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BACHELARD, G. A formação do espírito científico: contribuição para uma psicanálise do conhecimento. Rio de Janeiro: Contraponto, 1938 (impressão 1996). 316p.

BACHELARD, G. A epistemologia. Lisboa: Edições 70, 1971. 223 p.

BITTENCOURT, J. Obstáculos epistemológicos e a pesquisa em didática da matemática. Educação Matemática em Revista, Florianópolis, SC, ano 5, n. 6, p. 13-17, maio. 1998.

BROUSSEAU, G. Les obstacles epistemologiques et les problemes en mathematiques. Recherches en Didactique des Mathématiques, v. 4, n. 2, p. 165-198,1983.

BROUSSEAU, G. Theory of didactical situations in mathematics: didactique des mathématiques, 1970 - 1990. traduzido por Nicolas Balacheff et al. Londres: Kluwer Academic Publishers, v. 19, 1997. 281 p.

HAREL, G. Student’s understanding of proofs: a historical analysis and implications for the teaching of geometry and linear algebra, linear algebra and its applications, p.302-303, 601-613, 1999. Disponível em: <http://www-didactique.imag.fr/preuve/Resumes/Harel/Harel98/Harel98.html>. Acesso em: 16 dez. 2000.

IGLIORI, S. B. C. A noção de obstáculo epistemológico e a educação matemática. In: MACHADO, S. de A. et al. Educação matemática: uma introdução. São Paulo: EDUC, 1999. p. 89-113. (Série Trilhas).

OTTE, Michael. Concepção de história da matemática. BOLEMA: boletim de educação matemática, Rio Claro, SP. n. 2, 1992. p. 104-115. Edição especial.

PAIS, L. C. Transposição didática. In: MACHADO, S. de A. et al. Educação matemática: uma introdução. São Paulo: EDUC, 1999. p. 13-42. (Série Trilhas).

SCHUBRING, G. Desenvolvimento histórico do conceito e do processo de aprendizagem, a partir de recentes concepções matemático-didáticas (erro, obstáculos, transposição). Tradução Pedro Goergen. ZETETIKÉ: Revista do círculo de estudo, memória e pesquisa em educação matemática, FE/UNICAMP– CEMPEM. Campinas, v. 6, n. 10, p. 9-34, jul./dez. 1998.

SIERPINSKA, A. The diachronic dimension in research on understanding in mathematics – usefulness and limitations of the concept of epistemological obstacle. In: JAHNKE, H. N.; KNOCHE, M.; OTTE, M. (Eds.). History of mathematics and education: ideas and experiences. Göttingen: Vandenhoeck und Ruprecht, 1996. p. 289-318.

SILVA, I. B. Inter-relação: a pedagogia da ciência: uma leitura do discurso epistemológico de Gaston Bachelard. Ijuí: UNIJUÍ, 1999. 176 p. (Coleção Fronteiras da Educação).



1 Bachelard (1996, p.17)

2 Bachelard (1996, p.23)

3 Apud Brousseau (1983, p.190)

4 Apud Brousseau (1997)

5 Apud Bittencourt (1998)

6 Nessa pesquisa, Sierpinska utiliza a perspectiva diacrônica organizada em torno do conceito de tematização, de Piaget e Garcia (1989)

7 apud Pais (2001, p.19)



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