Obstáculos epistemológicos na educaçÃo matemática



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OBSTÁCULOS ENCONTRADOS PELOS ALUNOS NA APRENDIZAGEM DA ÁLGEBRA LINEAR
Marcos Francisco Borges. marribor@gmail.com.br

Departamento de Matemática, Campus Universitário de Cáceres

Universidade do Estado de Mato Grosso/UNEMAT.

Aluno regular do Programa de Pós-Graduação em Educação da FE/USP.

Bolsista PICDT/CAPES
INTRODUÇÃO
O francês Gaston Bachelard (1938) foi um dos mais influentes filósofos do século XX. Em sua obra a Formação do Espírito Científico, apresenta a noção de obstáculo epistemológico, que passou a ser uma das mais importantes concepções epistemológicas discutidas na ciência. Nessa obra, ele faz uma análise do espírito científico dos séculos XVIII e XIX, na ciência moderna, observando as condições em que a ciência evolui, de forma não linear, através de sucessivas retificações, pela existência dos erros, por descontinuidade e rupturas, podendo a partir dessa análise conhecer como ocorreu a formação histórica dos conceitos científicos.

Com um olhar diferenciado, Bachelard percebe que os erros surgidos ao longo da construção da ciência, que foram omitidos ou desconhecidos pela história tradicional, podiam auxiliar a detectar os vários obstáculos epistemológicos surgidos ao longo da história da ciência, possibilitando assim, um melhor conhecimento do caminho percorrido pela ciência.

Somente é possível a aquisição de um novo conhecimento pelo sujeito quando, no ato de conhecer, houver a superação dos conhecimentos adquiridos anteriormente, carregados de crenças, mitos, de concepções baseadas no senso comum, conhecimentos esses que foram mal estabelecidos, e que já estão sedimentados. É, então,
... em termos de obstáculos que o problema do conhecimento científico deve ser colocado (...) é no âmago do próprio ato de conhecer que aparecem, por uma espécie de imperativo funcional, lentidões e conflitos. É aí que mostraremos causas de estagnação e até de regressão, detectaremos causas de inércia as quais daremos o nome de obstáculos epistemológicos.1
O aparecimento de obstáculos é inevitável, o que mostra ser de fundamental importância, a sua superação para que pensamento científico possa se desenvolver.

Os obstáculos epistemológicos propostos por Bachelard são classificados por Benoni (1999) em dois grandes grupos: o dos obstáculos gerais, que se referem à experiência primeira e à generalização prematura; e o dos obstáculos particulares que mantêm relações ou estão implícitos nos obstáculos gerais, os quais se referem ao verbalismo, ao substancialismo e ao animismo, ao conhecimento unitário e pragmático, ao realismo, ao mito da digestão e a libido.

Além do seu uso no desenvolvimento histórico do pensamento científico, a noção de obstáculo epistemológico pode também ser utilizada na educação. Bachelard lecionou as disciplinas de química e física e, como filósofo da ciência, teve seu pensamento voltado às questões epistemológicas ligadas ao ensino desses conhecimentos, observando as ligações existentes entre o desenvolvimento histórico do pensamento científico e a prática da educação.

A maneira como os professores têm ensinado Ciências e a relação professor/aluno e conhecimento, foi questionada por Bachelard, por não ser levada em consideração no processo histórico da construção do conhecimento as relações existentes entre o conhecimento científico e o senso comum no conhecimento escolar, sendo que nessa relação dois pontos são relevantes; o primeiro, são as experiências trazidas pelos alunos que estão carregadas de crenças e opiniões, e o segundo, as dificuldades enfrentadas por eles no processo de aprendizagem. Isso mostra que:


(...) Os professores de ciências imaginam que o espírito começa como uma aula, que é sempre possível reconstruir uma cultura falha pela repetição da lição, que se pode fazer entender uma demonstração repetindo-a ponto por ponto. Não levam em conta que o adolescente entra na aula de física com conhecimentos empíricos já construídos: não se trata portanto, de adquirir uma cultura experimental, mas sim de mudar de cultura experimental, de derrubar os obstáculos já sedimentados pela vida cotidiana. (...) Toda cultura científica deve começar por uma catarse intelectual e afetiva. Resta, então a tarefa mais difícil: colocar a cultura científica em estado de mobilização permanente, substituir o saber fechado e estático por um conhecimento aberto e dinâmico, dialetizar todas as variáveis experimentais, oferecer enfim à razão razões para evoluir.2
Ao afirmar que conhecemos sempre contra um conhecimento anterior, Bachelard admite a existência e a validade do conhecimento que o aluno traz consigo, o aluno não é uma tábula rasa como acreditava Hume, sendo esse conhecimento, muitas vezes contrário e resistente quando da instalação de novos conhecimentos que estão sendo construídos. Para o professor o ensino de um novo conhecimento se dá através de um processo de questionamento constante, de retificação dos erros das experiências trazidas pelo aluno, para a superação dos obstáculos existentes com relação a esse conhecimento.

O problema está então, em como podemos produzir o novo conhecimento quando tomamos como referência o conhecimento antigo, Bachelard (1971) diz que é possível que o professor provoque rupturas em relação ao conhecimento cotidiano que o aluno traz, modificando o foco em suas aulas, fazendo com que os alunos não permaneçam apenas no fato, no empírico. Para Bachelard é necessário, portanto, o rompimento com o superficial adotando a atitude científica para a construção do conhecimento científico.



A IMPORTÂNCIA DO CONCEITO OBSTÁCULO PARA A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Enquanto para Bachelard a Matemática é uma atividade para desenvolver teorias, para Guy Brousseau, a Matemática é uma atividade de resolver problemas. Brousseau então em 1976, inspirado pelas idéias de Bachelard, apresentou no XXVIII Encontro do Ciaem, uma conferência sobre “Os obstáculos epistemológicos e os problemas em Matemática”, inserindo essa noção no contexto didático.

Os trabalhos apresentados por Brousseau serviram de alavanca impulsionadora para que várias pesquisas em Educação Matemática surgissem, sendo vários os autores que trabalham com o conceito de obstáculo epistemológico, na educação, como Artigue (1991), Brousseau (1983), Cornu (1983), Duroux (1983), Glaeser (1981), Sierpinska (1985), entre outros.

A noção de obstáculo epistemológico na educação, passa a ter uma importância fundamental, pois possibilita perceber a interdependência existente entre a Epistemologia e a Didática da Matemática. (IGLIORI,1999)

A discussão sobre o conceito de obstáculo epistemológico, na didática da matemática, abre um horizonte de possibilidades para o desenvolvimento de pesquisas, mesmo estando esse conceito em vias de se construir e diversificar. É somente analisando este conceito, caso a caso, que poderemos compreendê-lo.

A introdução da noção de obstáculo didático possibilitou mudar o foco no processo ensino/aprendizagem, em que os erros e os obstáculos, eram atribuídos sempre à subjetividade dos alunos.

A noção de obstáculo epistemológico, aparece para Brousseau, como um conhecimento, e não como uma dificuldade ou falta de conhecimento, produzindo respostas adaptadas em um determinado contexto, mas quando usado fora dele, se revela falso, ineficaz, gerando respostas incorretas; o aluno resiste às contradições que o obstáculo lhe produz e a sua modificação por um novo conhecimento, o que torna todo conhecimento possível de ser um obstáculo à aquisição de novos conhecimentos.

Mas, um conhecimento, somente poderá ser declarado como um obstáculo quando ele for diferenciado do conceito de dificuldade, para Duroux (1982)3 pelo fato de que o obstáculo possa ser considerado um conhecimento, basta reformular a “dificuldade” estudada em termos, não da falta de conhecimento, mas de conhecimento (falso, incompleto ...) para superá-la, pois a dificuldade mostra-se menos resistente.

No que se refere à relação entre obstáculo e história e obstáculo e o desenvolvimento do indivíduo, Cornu (1983)4, em seu estudo sobre o aparecimento de obstáculos no ensino-aprendizagem da noção de limite, mostra que há traços correspondentes entre as dificuldades dos alunos e os obstáculos atestados pela história.

Alguns pesquisadores encontraram em seus trabalhos semelhanças entre as respostas dos alunos de hoje e as soluções dadas por matemáticos ao longo da história; Schubring (1998) aponta a possibilidade de um paralelismo entre o desenvolvimento de conceitos matemáticos como caminho do empírico ao abstrato e o progresso intelectual dos alunos.

Para Brousseau (1983) é fundamental para se poder prosseguir com a utilização dos obstáculos no ensino, identificá-los na história da matemática, encontrar os seus traços nos modelos espontâneos dos alunos e apresentar situações pedagógicas para o seu enfrentamento.

Para encontrar os obstáculos históricos, Brousseau (1998)5 define um método de pesquisa que consiste de três fases: (i) encontrar erros sistemáticos e concepções em torno das quais esses erros se agrupam; (ii) encontrar obstáculos na história da matemática; (iii) confrontar os obstáculos históricos com os obstáculos didáticos. Pois, segundo Bachelard, é pela análise do processo histórico da construção do conhecimento científico que podemos identificar os obstáculos epistemológicos.

Os obstáculos epistemológicos vão então se revelar através dos erros específicos que são constantes e resistentes aparecendo como um meio de se mudar a idéia equivocada que se tem sobre o erro no contexto didático. O aparecimento do erro muitas vezes não é considerado em certas teorias, que acreditam que o seu aparecimento no processo ensino/aprendizagem deve ser evitado, e quando detectados devem ser eliminados. Segundo Brousseau (1983), a manifestação dos obstáculos está intimamente relacionada ao aparecimento dos erros recorrentes e não aleatórios cometidos pelos alunos na construção de um novo conhecimento, sendo assim, o erro é visto como algo necessário, sendo parte constituinte do processo ensino/aprendizagem.


OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS NO ENSINO E APRENDIZAGEM DA ÁLGEBRA LINEAR NO NÍVEL UNIVERSITÁRIO
São várias as pesquisas desenvolvidas por Anna Sierpinska do Department of Mathematics and Statistics da Concordia University, Canadá, na área da Educação Matemática, entre elas, temos as relacionados aos obstáculos epistemológicos em relação à noção de limite e a álgebra linear. Estas pesquisas seguem a mesma linha de investigação adotada por Guy Brousseau procurando descobrir quais são os obstáculos epistemológicos ligados ao conhecimento escolar, para assim buscar situações didáticas que permitam aos alunos superá-los.

Para Sierpinska (1996) o conhecimento histórico vai poder ajudar a identificar em determinados casos às crenças, os hábitos de pensamento, os erros persistentes, que serão causadores dos obstáculos epistemológicos, apontando os problemas a serem resolvidos, as dificuldades surgidas e como foram superadas, relacionando esses fatos aos erros cometidos pelos alunos com a história do conceito, apresentando situações didáticas que possam libertar os alunos dos conceitos falsos e incorretos.

Esse estudo histórico para Sierpinska deve ser realizado em conjunto com um estudo experimental, pois, é importante na identificação de um obstáculo, saber como ele apareceu e em quais condições ao longo da história, o que pode contribuir para a compreensão de obstáculos análogos surgidos no ensino, por outro lado, é possível também encontrar os obstáculos ou as dificuldades encontrados pelos alunos de hoje nas soluções dos problemas apresentados pelos matemáticos da antiguidade. É importante destacar que mesmo detectadas essas semelhanças devemos evitar a sua generalização.

Como referência para este trabalho, utilizaremos a pesquisa realizada por Sierpinska publicada em 1996 no livro “History of Mathematics and Education: Ideas and Experiences” com o título: “The Diachronic Dimension in Research on Understanding in Mathematics – Usefulness and Limitations of the Concept of Epistemological Obstacle”, sobre a utilização e limitação de explanações dos obstáculos epistemológicos no ensino e aprendizagem da álgebra linear no nível universitário, como exemplo do aparecimento de obstáculos encontrados pelos alunos na aprendizagem da álgebra linear.

Assim como Brousseau, ela acredita ser necessário expor os alunos frente a problemas relevantes, para que um novo conceito seja aprendido, como exemplo, cita o caso dos operadores lineares grandes e complicados, ao invés das matrizes simples, 2x2 ou 3x3, que fornecem um significativo domínio para o problema da diagonalização e formas canônicas, mostrando que cada conceito matemático tem seu próprio domínio de validade e sentido.

O aparecimento do conceito de obstáculo epistemológico na Educação Matemática surge, para Sierpinska, como um paralelo entre a construção do conhecimento pelo sujeito e a construção do conhecimento matemático. Os obstáculos epistemológicos vão apontar os momentos históricos em que houve pontos de resistência ao conhecimento científico, mostrando a necessidade teórica do surgimento de um determinado conceito.

Em relação à história da álgebra linear, diz que o nível de pensamento necessário para a sua tematização6, no século XVIII, chamado “trans-nível”, consistia dos níveis de estruturação, generalização e unificação do pensamento matemático. Os problemas apresentados nesse nível formam a necessidade teórica dos conceitos de álgebra linear.

O chamado “trans-nível” aparece no ensino da álgebra linear como um dos mais sérios obstáculos a serem superados. Os alunos, ao entrarem na Universidade, se encontram, como diz Piaget & Garcia, no “nível inter-operacional” do pensamento algébrico; possuem alguma experiência com matrizes, vetores e seus operadores, considerados objetos da álgebra linear do “tipo 1”. Ao se depararem com objetos do “tipo 2”, como espaços vetoriais e operadores lineares, definidos axiomaticamente, a mudança do inter para o trans-nível surge como um obstáculo, pois é difícil fazer com que o aluno entenda a necessidade teórica de se conhecer conceitos mais gerais; no entendimento do aluno, a linguagem matemática da álgebra linear é exótica, pois os objetos do “tipo 1” deixam de ter a sua forma concreta.

Ao longo do estudo experimental, podemos detectar o obstáculo proposto por Bachelard como sendo o da experiência primeira, em que o aluno fica preso ao imediato, tendo dificuldade de abandonar a observação, as imagens; ele é observado nas discussões entre aluno e monitor em que há momentos nos quais as dificuldades aparecem simplesmente ao lerem, por exemplo, um texto sobre álgebra linear.

Sierpinska apresenta ao aluno, ao invés de um livro didático comum, um texto que possui uma coleção de problemas e exemplos e uma pequena exposição da teoria. O primeiro assunto é sobre “Espaços Aritméticos”, espaço cartesiano de pontos representados como conjuntos finitos ordenados de número real. Nas três primeiras sessões sobre geometria de uma, duas e três dimensões, no espaço aritmético, o aluno passou rapidamente e, quando teve problemas de visualização relativos a posição do plano e da reta na terceira dimensão, construiu modelos com caixas de papel para resolvê-lo. A primeira dificuldade encontrada pelo aluno foi na passagem da geometria plana e espacial para a geometria no Rn, esse salto do inter para o trans-nível surge como o primeiro obstáculo na aprendizagem da álgebra linear.

Na transição para a teoria geral de Rn o aluno, quando questionado, pareceu ter dificuldades até no que diz respeito ao seu conhecimento sobre os espaços de duas e três dimensões, pois ao falar de um espaço n-dimensional, ele entende que está falando de coisas abstratas, que não podemos dizer se elas existem ou não, por não estarem relacionadas a nenhuma situação que tenha uso prático. Ao utilizarem ilustrações geométricas para resolverem os problemas na geometria euclidiana, os alunos se apegam às imagens, não entendendo que a matemática também pode ser entendida como um modelo da realidade e não a realidade em si mesma, as figuras simbólicas são apenas representações da realidade e não a realidade em si, servindo apenas como idéias introdutórias dos conceitos abstratos que irão surgir. (devemos considerar ainda, que existem matemáticas que não são representação de nada real).

O resultado desse fato é que, ao entrarem em contato com as estruturas algébricas em Rn, os alunos vão se deparar com o que virá a ser um obstáculo para o conhecimento desse conceito, pois eles não pensam na matemática, como por exemplo, em conceitos como números, funções, etc, como sendo objetos ideais ou gerais, que não consistem de propriedades de objetos, mas sim, de classes ou coleções de objetos, o que os impede de poder perguntar qualquer coisa sobre eles, o número por exemplo, está no pensamento, ao olharmos um conjunto com cinco elementos não vamos encontrar nele o número cinco.

Mesmo concordando que Rn seja uma teoria geral de todos os espaços aritméticos, o aluno evita pensar sobre esse assunto, ele entende cada passo dado, mas não a teoria como um todo, esse aluno vai permanecer ainda com as suas crenças, por um bom tempo, entendendo n como número de dimensão infinita.

Ao ter que resolver problemas com equações do hiperplano, hiperesfera, ou outras formas em diferentes espaços concretos com n igual a 5, 6 ou 7, o aluno vai apresentar dificuldades em entender, por não conseguir visualizar; pois o único recurso a ser utilizado é a álgebra. Pensar dessa forma é, para ele, muito difícil, por ter que se afastar do contexto da linguagem geométrica dos desenhos, das figuras, para um contexto em que é necessário um pensamento estritamente abstrato. Na resolução das equações, mesmo que se fale em termos de desenhos, hiperplano, reta, o aluno é forçado a utilizar apenas a álgebra.

Segundo Sierpinska, o pensamento trans-nível em álgebra linear é essencialmente estruturalista, ou seja, os casos extremos são incluídos no caso geral, não sendo considerados separadamente. Por outro lado, no senso comum, não se diferencia um quadrado de um retângulo, mesmo se matematicamente ele for um, pois na linguagem comum, um retângulo não pode ter todos os lados iguais. O mesmo ocorre com o vetor zero, que tem um significado estabelecido na álgebra linear; para o aluno, essa idéia pode parecer um absurdo se ele conhece vetores apenas como translações, não os transferindo para o caso geral.

Novamente o obstáculo da experiência primeira aparece, pois há uma tendência do aluno de se aproximar do pensamento do senso comum; ele está sempre atraído pelo objeto real, que tenha existência física, pelo imediato, esse pensamento vai lhe trazer grandes dificuldades no entendimento dos conceitos da álgebra linear de espaço, dependência e independência. Na linguagem cotidiana, não ficamos falando sobre dependência de alguma coisa, mas na linguagem matemática, da álgebra linear, um vetor pode ser dependente ou independente, em relação se ele pode ou não ser gerado pelos outros, através das operações básicas do espaço, porque quando falamos de dependência entre vetores, nos referimos a conjunto de vetores linearmente dependente ou independente.

Outras dificuldades aparecem além do obstáculo do salto do inter para o “trans-nível”, no ensino da álgebra linear, a serem superados, como a de decifrar significados provenientes de definições analíticas, a de compreender que é preciso uma primeira conjectura para iniciar uma definição e as relacionadas à compreensão e construção de provas.

No que se refere à primeira dificuldade, a de decifrar significados provenientes de definições analíticas, Sierpinska inicia dizendo que o surgimento do simbolismo na álgebra linear teve um marco importante na história da matemática, mas quando transposto ao ensino, tem causado grandes dificuldades aos alunos que vão aprender esses conceitos a partir das definições formuladas; para eles esse simbolismo mais esconde do que revela.



Para exemplificar como ocorre essa dificuldade é apresentado, em um dos exemplos, o entendimento do aluno no que se refere à definição de combinação linear apresentada pelo monitor: “o vetor x do espaço vetorial Vn é uma combinação linear convexa dos vetores x1, x2, ... , xk pertencentes ao Vn, se

onde para e .”

Nessa definição aparecem pelo menos nove variáveis, x, n, Vn, k, x1, x2, xk, xi, λ1, com diferentes papéis. Há também três condições: que x seja uma combinação linear dos vetores xi, que os coeficientes dessa combinação não sejam negativos e que totalizem 1.



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