Matemática Financeira e Informática de Gestão



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4. Pagamento da dívida – Rendas

Já consideramos duas possibilidades para o pagamento da dívida. Primeiro, que são pagas prestações periódicas correspondentes aos juros dessa fracção de tempo e o capital é pago no fim do prazo contrato. Segundo, que o capital mais os juros são pagos apenas no final do prazo contrato. Vamos agora explorar uma outra possibilidade: que são entregues prestações ao longo do tempo que correspondem aos juros da fracção de tempo e a uma (pequena) amortização do capital de forma que no final do prazo não sobre nenhum capital para pagar. Este tipo de pagamento denomina-se por renda.

Em termos estilizados, uma renda transforma um determinado stock de dinheiro (o capital inicial) num rendimento. As prestações podem ser regulares ou irregulares, constantes ou variáveis, podem começar a ser pagas imediatamente ao depósito do capital ou haver diferimento de alguns períodos, terem duração limitada ou serem perpétua (a expressão matemática tem interesse no cálculo das rendas de duração limitada).

Por exemplo, O Jardel aos 26 anos de idade ganhava muito dinheiro. Então, poderia ter constituído um depósito de 1.5 milhões de euros e receber em pagamento, a partir dos 35 anos, 600 prestações mensais de 10000€ cada.

Podemos emprestar um capital que recuperamos na forma de uma renda (e.g., saiu-nos a lotaria); pedir um capital que pagamos na forma de uma renda (e.g., um empréstimo para comprar casa); pagar uma renda que recebemos no final na forma de um capital (e.g., para comprar um barco a pronto); receber uma renda que pagamos no fim na forma de um capital (para podermos viver à custa de uma herança que vamos receber no futuro); ou receber uma renda que pagamos na forma de renda (e.g., para financiar os estudos).



Em termos conceptuais, para compararmos activos temos que referir todos os valores ao mesmo instante de tempo. Assim, podemos, em simultâneo, ter que capitalizar umas parcelas e descontar outras parcelas.
Ex.1.12. Voltemos ao exemplo da aplicação financeira do Jardel. Determinamos no Excel que a taxa de juro implícita é de 4.857% ao ano. Haverá uma entrega de +1500M€ e 600 de –10M€.

C2: =B2/(1+$E$1)^(A2-312) e copiamos em coluna e C710: =Soma(C2:C709). Depois usamos a ferramenta “atingir objectivo” definindo C710 para 0 por alteração de E1.



Ex.1.13. Uma família adquiriu uma habitação mediante um empréstimo bancário de 150mil€ à taxa de juro de 5.5% anual a 50 anos. Qual a prestação mensal a pagar?

R. Usando o Excel, resulta que a prestação mensal é de 720.29€.

B2: =E$3; C2: =B2/(1+$E$1)^A2 e depois copiamos ambas em coluna. C603: =Soma(C2:C602); E1: =(1+E2)^(1/12)–1.

Usamos a ferramenta “atingir objectivo” definindo C603 para 0 por alteração de E3.

Qualquer que fosse o período para o qual capitalizássemos ou descontássemos as entregas e os recebimentos, a soma dos valores daria sempre zero.
i) Renda perpétua.

Se a renda durar para todo sempre (i.e., nunca mais se recebe o capital), então em qualquer período, a renda vale sempre o mesmo (pois receberemos sempre o mesmo número de pagamentos futuros) pelo que estamos, em termos algébricos, numa situação idêntica a um empréstimo em que, no fim de cada período (i.e., postecipada), são pagos apenas os juros. Se a renda anual é R, o capital é V e a taxa de juro i, teremos



Também poderíamos obter este resultado descontando as diversas prestações ao presente que é uma série geométrica de razão (1 + i):




Ex.1.15. Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês para sempre. Supondo uma taxa de juro de 5%, qual será o valor presente do terreno?

R. V = 50/0.407% = 12278.58€
ii) Renda de duração limitada.

Com o conhecimento da expressão da renda perpétua podemos agora determinar o valor de uma renda de duração limitada compondo rendas perpétuas. Supondo que recebemos a renda entre o presente e o período N (no fim de cada período) então o resultado é equivalente a receber uma renda perpétua a começar agora e pagar uma renda perpétua a começar no período N, que descontamos ao presente.



Se a renda for paga no princípio do período (i.e., antecipada), teremos que capitalizar um período:




Ex.1.16. Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês, pago no fim do mês, até que o TGV lhe destrua o terreno (i.e., daqui a 25 anos). Supondo uma taxa de juro anual de 5%, qual será o valor presente do terreno?

R. V = 50/0.407% x (1 – 1.00407–300) = 12278.58€ x 0.7047 = 8648.45€
Ex.1.17. Suponha que o Figo, entre os 25 e os 35 anos, depositou mensalmente 100mil€ (i.e., 120 prestações). Supondo ainda que com essa poupança pretende receber uma renda de valor fixo entre os 35 anos e os 85 anos (600 prestações). Assumindo uma taxa de juro anual de 4%, de quanto vai ser a renda que recebe?

R. Vamos somar rendas perpétuas com taxa de juro mensal i = 1.041/12–1 = 0.327%. Em referência ao instante inicial (quando fez 25 anos), teremos





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