Matemática Financeira e Informática de Gestão



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3. Desconto – Valor Presente (ou actual)

Na apresentação da capitalização composta (i.e., no cálculo do Valor Futuro de uma soma de dinheiro) foi referido que o número de períodos do contrato de empréstimo pode ser um número real qualquer. Então, pelo menos algebricamente, podemos ter um número negativo de períodos. Neste ponto vamos ver qual o significado económico de o período de tempo ser negativo.

Quando o n é positivo, representa a distância temporal entre o presente (em que é feito o empréstimo) e o instante futuro em que é pago o reembolso do capital mais os juros: se, e.g., emprestamos 100€ em 2008 a uma taxa de juro 5% ao ano, em 2028 vamos receber a quantia de 100 x 1.0520 = 265.33€.

Quando o n é negativo, representa a distância temporal entre o presente (que é pago o reembolso do capital mais os juros) e o instante passado em que é foi feito o empréstimo: para receber 100€ em 2008, a uma taxa de desconto de 5% ao ano, tive que depositar no ano de 1988 a quantia de 100 x 1.05–20 = 37.69€. Em termos algébricos, em vez de um número negativo de períodos posso dividir pela taxa de juro: 100 / 1.0520 = 37.69€.



O n é negativo também permite eu traduzi capital que vou ter no futuro para as “unidades” do presente. Por exemplo, no meu emprego, vou receber daqui a dez anos 100€ de prémio. Para uma taxa de juro de 6% ao ano, em termos de valor presente, esses 100€ valem apenas 100€ x 1.06–10 = 55.84€.
Ex.1.10. Um estudante, quando terminar o curso, vai receber de umas tias um prémio de 10000€. Supondo que pensa terminar o curso daqui a 30 anos e que a taxa de desconto é de 5% ao ano, qual será o valor actual (i.e., o valor descontado ao presente) dessa soma de dinheiro?

R. Os 10000€ valem no presente = 2313.77€.
Em termos conceptuais, a capitalização e o desconto são economicamente idênticos. A diferença é que na capitalização estamos no presente e pretendemos saber o valor equivalente em termos de dinheiro do futuro da soma de dinheiro que temos no presente (andar para a frente no tempo) enquanto que no desconto estamos no futuro e queremos saber o valor equivalente em termos de dinheiro do presente da soma de dinheiro que vamos ter no futuro (andar para trás no tempo).

Em termos financeiros, o desconto também permite recordar qual foi o crédito V concedido no passado (há n período atrás) que justifica o reembolso X no presente, tendo sido contratada a taxa de juro por período i. Assim, trata-se da mesma expressão da capitalização composta mas explicitada em ordem ao reembolso:




Ex.1.11. Uma vítima do regímen nazi depositou em 1940 todo o capital que tinha num banco. Sendo que esse banco foi obrigado a devolver o capital depositado com juros à taxa de 3.5% anual e a família recebeu 1milhão€ em 2008, qual terá sido o capital depositado?

R. Descontando 1milhão€ para 1940, temos = 96395.38€.



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