Matemática Financeira e Informática de Gestão



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Índice de cabaz fixo (de Laspeyres)


Na construção deste índice de síntese existe uma ponderação dos indivíduos (ou estrato) que é constante para toda a série. Se aplicado a uma série temporal, os ponderadores são os correspondentes ao ano base.

Sendo xk,t é o valor da variável aleatória para o indivíduo k no período t e sendo wk,base a importância económica (peso) relativa do indivíduo k (em que o somatório dos pesos é um) no período base, então obtemos o índice de Laspeyres para o instante de tempo t, primeiro, calculando a média ponderada dos indivíduos de cada período:



Segundo, normalizando os valores relativamente ao período base, e.g., a 100:



No cálculo do índice de preços ao consumidor utiliza-se como peso de cada tipo de mercadoria a sua importância relativa na despesa total das famílias. Primeiro, são escolhidas as grandes rubricas da despesa (alimentação, vestuário e calçado, habitação, etc.) e é construído para cada rubrica um índice ponderado de Laspeyres. Depois, atribuindo um peso relativo a cada rubrica, é determinada o IPC como a média ponderada dos índices das rubricas. A importância das componentes da despesa (i.e., o cabaz de consumo) obtém-se por inquéritos às famílias o que, ficando muito caro, só se faz a intervalos de tempo grandes.

No cálculo do índice de mercado bolsista utiliza-se como peso de cada título a capitalização bolsista e o volume diário de transacção (liquidez). Do total de empresas cotadas são escolhidas as de maior peso (por exemplo, o PSI20, o CAC40 e o NASDAQ100 são construídos como uma média ponderada das 20, 40 e 100 empresas cotadas mais importantes, respectivamente).

Compatibilização de tramos da série com diferentes bases


Como já referido, a grande vantagem do índice de Laspeyres é a não necessidade de recalcular os pesos relativos dos grupos em cada período. No entanto, no decorrer do tempo, a representatividade de cada grupo evolui de forma que o índice de Laspeyres vai perdendo capacidade de representar a evolução agregada da realidade considerada. No sentido de ultrapassar este problema, regularmente as séries mudam de base (e.g., a cada 20 anos).

Quando se muda de base, o índice sofre uma quebra porque salta do valor do antigo tramo da série para 100 (ou 1, 10, etc.) e são alterados os pesos relativos dos grupos agregados no índice (a representatividade de cada grupo no índice).

Quando é preciso utilizar o número índice ao longo de todos os períodos, torna-se necessário compatibilizar os vários tramos da série à mesma base. A redução não é realmente uma mudança para a mesma base porque não se tem em consideração que existem alterações dos ponderadores mas permite fazer uma transição suave entre os vários tramos da série.

No sentido de tornar possível a compatibilização dos tramos, estes sobrepõem-se (pelo menos) durante um período. Devemos usar os períodos de sobreposição para calcular o valor do “salto” em termos relativo entre as séries e reduzi-lo a zero. Vejamos um exemplo de uma mudança de base.




Ano

Tramo 1

Tramo 2

Série

1

100,0




100,0

2

101,8




101,8

3

106,7




106,7

4

107,4




107,4

5

112,6




112,6

6

119,5




119,5

7

120,8




120,8

8

123,5




123,5

9

125,6




125,6

10

124,6




124,6

11

128,8

100,0

128,8

12




103,6

133,4

13




109,8

141,4

14




109,7

141,3

15




112,1

144,4

16




118,0

152,0

17




124,3

160,1

18




129,0

166,2

19




132,8

171,0

20




133,0

171,3
Sendo que existe uma série com dois tramos: o tramo 1 tem como base o ano 1 que é calculado até ao ano 11 e o tramo 2 tem como base o ano 11 e é calculado entre o ano 11 e o ano 20 (existe sobreposição no ano 11), pretendemos “corrigir” a mudança de base. Para compatibilizar os dois tramos à base do tramo 1, calcula-se o ratio no ano sobreposto (100 para 128,8) e corrige-se o tramo 2 multiplicando-o por este valor (1,288).

Podemos mudar qual é o ano a que corresponde o valor 100 (sem alterar os pesos para a nova base) dividindo toda a série pelo valor que o índice tem no ano pretendido (e multiplicando pelo valor que se pretende como base, e.g. 100).



3.2.5 Taxa de variação


Construído o índice agregado, pode interessar transformá-lo numa taxa de variação. Por exemplo, construído o IPC (índice de preços no consumo) podemos determinar qual foi a taxa de inflação.

Normalmente a taxa de variação refere-se a um determinado período, por exemplo, a inflação do último ano. Sendo t o instante actual, It-1 o valor do índice há um “ano” e Rt-1 a taxa de variação do índice durante o último ano, teremos:



Esta taxa de variação chama-se taxa de variação homóloga por serem considerados no seu cálculo instantes do período idênticos. Por exemplo, a taxa de inflação homóloga anual em 15 de Setembro de 2008 compara o índice de preços no dia 15 de Setembro de 2008 contra o dia 15 de Setembro de 2007.

A taxa de variação média é a média (para um ano) das taxas homólogas com intervalo de análise deslizante (por exemplo, calculada para cada mês). Sendo que a unidade de referência é o ano civil. Podemos ainda calcular a taxa de variação acumulada como a variação que ocorreu desde o início do ano até ao dia em consideração.

A taxa de variação mensal anualizada é uma taxa de um mês para outro (homologa no sentido que compara, e.g., o dia 15 de Março com o dia 15 de Fevereiro) transformada em unidades por ano, Txa = (1 + Txm)12 – 1.


Ex.2.22. Conhecido, em termos mensais, a evolução do índice de preços ao consumidor, determine a taxa de inflação i) homóloga de Dezembro e ii) mensal anualizada.

Dez

Jan

Fev

Mar

Abr

Mai

Jun

Jul

Ag

Set

Out

Nov

Dez

386,0

386,2

386,9

389,6

390,4

393,3

393,9





































100,0

100,6

101,1

101,3

101,3

101,6

102,1

R. Primeiro compatibilizamos as séries multiplicando a de baixo por 3.939. i) A taxa de inflação anual homónima de Dezembro é M4: M2/A2 – 1 = 4.19%. ii) A mensal anualizada obtém-se B3: (B2/A2)^12-1 e copiar em linha.





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