Matemática Financeira e Informática de Gestão



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Taxa de desconto do banco central. A quantidade de moeda papel em circulação, e a sua taxa anual de aumento, é uma decisão política. No entanto, como a moeda papel não é “comestível”, quando aumenta a sua quantidade, também aumenta a procura de bens e serviços pelo que os preços aumentam, i.e., ocorre o fenómeno da inflação. No sentido de controlar o nível geral de preços, é necessário os decisores políticos controlarem a quantidade de moeda em circulação, i.e., a liquidez, operação que é levada a cabo pelo banco central da zona monetária (por exemplo, o BCE para a zona Euro) através da absorção de liquidez (i.e., aceita depósitos) e a cedência de liquidez (i.e., empresta dinheiro) dos bancos comerciais. Para desincentivar os bancos recorrerem aos seus serviços e amortecer as flutuações de mercado (e não para cobrir o risco), o banco central “cobra” um spread de 1 ponto percentual: se, por exemplo, o BCE fixar a taxa de desconto em 4%, então aceita depósitos à taxa de 3.5% e empresta dinheiro à taxa de 4.5% (denominada por Janela de Desconto) garantido por “activos bons” (não empresta a bancos falidos). Além disso, os bancos não podem usar sistematicamente o banco central para a obtenção de liquidez porque, num sistema LIFO (last in, first out) de contabilização dos créditos, ao fim de 60 dias, a taxa de juro aumenta 1 ponto percentual e ao fim de 120 dias aumenta outro ponto percentual. Somando estas duas razões (a necessidade de dar garantias boas e ser a taxa muito crescente com o prazo), a taxa de desconto é menos importante como indexador do mercado de crédito que a taxa EURIBOR.
Proporcionalidade do tempo.

Como as questões económicas justificativas da existência da taxa de juro são proporcionais ao período de tempo que o agente económico adia o consumo ou usa o capital, então a taxa de juro será proporcional ao tempo do contrato.


Resumindo, a taxa de juro nominal, i, virá dada pela composição de três parcelas: a taxa de juro real, r, a taxa de inflação, , e a taxa de incumprimento, p:

Para valores de i, r, e p pequenos (i.e., próximos de zero), é aceitável aproximar a taxa de juro nominal pela soma das parcelas (a taxa de juro real, a taxa de inflação e a taxa de incumprimento):




Ex.1.2. Determine a taxa de juro a cobrar quando a taxa de inflação prevista é de 2.800% ao ano, a taxa de juro real é de 1.800% ao ano e a probabilidade de incumprimento é de 3.500% ao ano.

R. Em termos aproximados, será 2.800% + 1.800% + 3.500% = 8.100%. em temos exactos teremos (1 + 2.800%) . (1 + 1.800%) / (1 – 3.500%) – 1 = 8.446% ao ano.
Ex.1.3. Uma determinada instituição de crédito usa a técnica de Credit Scoring na determinar da probabilidade de incumprimento (ver tabela). Somando o efeito das três variáveis, se o score ≤ 80, o spread será de 0.75 pp (i.e., pontos percentuais), se 80 < score ≤ 120, o spread será de 1.75 pp enquanto que se score > 130, o banco não concede crédito. Determine o spread para um casal que ganha 2000€/mês, tem um património de 100M€, um tem 26 anos e outro 30 anos, e pretende pedir 175M€ para comprar uma casa avaliada em 250M€ (que custa 225M€). Assume-se uma prestação mensal de 6€ por cada mil€ de empréstimo.

Variável

Score

PJA: Proporção dos juros e amortizações no rendimento mensal

p = 100PJA

PDP: Proporção das dívidas no património

p = 25PDP

IM: Idade média do casal

p = IM

R. Como o Score p = 100x6x175/2000 + 25.[175/(50 + 250)] + 28 = 95.1 está no intervalo ]80, 130], o Spread será de 1.75pp.
2. Capitalização

A taxa de juro é referida a uma unidade de tempo, normalmente um ano. Por exemplo, a taxa de juro nominal acordada pode ser 5% ao ano (i.e., por cada ano). Se a duração do contrato for de vários anos mas os juros forem pagos no final de cada ano, como estamos sempre a voltar à situação inicial, não há qualquer problema algébrico. Esta é a situação dita normal.

Se os juros são pagos apenas no fim do contrato, no fim de cada ano o devedor passará a acrescer à sua dívida os juros que não são pagos, havendo capitalização dos juros (ao fim de cada ano, acrescentam-se os juros ao capital em dívida). Assim, haverá lugar ao pagamento de juros dos juros vencidos e não pagos durante a vigência do contrato.
i) Capitalização simples

Na capitalização simples, apesar de os juros irem ficando em dívida, desprezam-se os juros sobre os juros vencidos no fim de cada ano. Sendo que é acordado um empréstimo de V unidade monetárias durante n períodos a uma taxa de juro por cada período de i (por cento) com capitalização simples, apenas no fim do tempo contratado é que se calculam os juros multiplicando o número de anos pela taxa de juro anual: j = n.i, Valendo a dívida, no fim do prazo, V.(1 + n.i).




Ano

Capital inicial

Juro do ano

Capital final

1

V

V.i

V.(1 + i)

2

V.(1+i)

V.i

V.(1 + 2.i)

...

...

...

...

n

V.(1+(n–1).i)

V.i

V.(1 + n.i)

Tabela 1.1. – Capitalização simples
Ex.1.4. Foi acordado um empréstimo de 10M€ a 3 anos à taxa média EURIBOR a 3 meses acrescida de um spread de 2 pontos percentuais e que os juros seria pagos no fim do período acordado, capitalizados de forma simples. Sendo que durante a vigência do contrato a média da EURIBOR foi 3.754%/ano; 4.217%/ano e 4.765%/ano, respectivamente, determine qual a quantia a pagar no fim do contrato.

R. Os juros serão 10M€.(5.754% + 6.217% + 6.765%) = 1873.60€ e o total será 11873.60€.
ii) Capitalização composta

Sendo que o contrato prevê que o juro apenas é pago no final do período do contrato, então o cálculo dos juros deve incluir os juros dos juros que entretanto passaram a estar em dívida (passaram a ser capital). Se é acordado um empréstimo de V euros que será devolvido ao fim de n períodos acrescido de um juro à taxa de i (por cento) por cada ano, então a divida aumenta a cada ano. Para o caso da taxa de juro ser igual em todos os anos, teremos:





Ano

Capital inicial

Juros do ano

Capital final

Taxa se juro

acumulada



1

V

+ V.i

= V.(1+ .i)

(1+ i) – 1

2

V.(1 + i)

+ V.(1 + i).i

= V.(1 + .i).(1 + .i)

(1 + i)2 – 1

3

V.(1 + i)2

+ V.(1 + i)2.i

= V.(1 + i).(1 + i) .(1 + i).

(1 + i)3 – 1











n







V.(1 + i)n

(1 + i)n – 1

Tabela 1.2 – Capitalização composta, taxa de juro anual fixa
Ex.1.5. Calcule o total a pagar num empréstimo a 5 anos em que o capital emprestado é de 25M€, a 5% ao ano, juros a pagar no fim do período com capitalização composta. Determine a taxa de juro dos 5 anos e compare com a capitalização simples.

R. O valor final a pagar será de 25000.(1 + 5%)5 = 31907,04€. A taxa de juro da duração total do contrato será (1+5%)5 –1 = 27,628% enquanto que com capitalização simples seria 25%.
Ex.1.6. Calcule a capitalização composta para exemplo o Ex.1.4.

R. O valor final a pagar será de 11992.78€. Podemos usar o Excel na resolução deste problema escrevendo as fórmulas D2: =B2*C2; E2: =B2+D2; B3: =E2 e depois copiando em coluna:


Período de tempo fraccionário. Na tabela 1.2 usada para obter a expressão da taxa de juro acumulada de forma composta, o número de anos é inteiro. No entanto, como a função potência é uma função de variável real, em termos matemáticos, podemos extrapolar o conceito de capitalização a fracções do ano. Por exemplo, sendo a taxa de juro de 5% ao ano, se o empréstimo durar apenas 3 meses, a taxa de juro do contrato será (1 + 5%)0.25 – 1 = 1,227% (supondo que 3 meses correspondem a 0.25 anos).
Ex.1.7. Num empréstimo de 100M€ foi acordado o pagamento mensal de juros à taxa média do último mês da EURIBOR a 3 meses e o capital apenas no fim do prazo acordado. Supondo um mês em que a taxa de juro foi de 5.735%/ano, quanto foi pago de juros?

R. A taxa mensal será (1 + 5.735%)1/12 – 1 = 0.465796%  465.80€ de prestação mensal.

O cálculo dos juros com capitalização simples é uma aproximação à capitalização composta em que não são tomados em conta os termos de ordem elevada (i2, i3, etc.) e que representam os juros dos juros. Quando a taxa de juro do período, i, é pequena e o número de períodos também são poucos, então os juros capitalizados de forma composta são aproximadamente iguais aos capitalizados pela forma simples:





A primeira aproximação é válida quando é pequeno (i.e., o número de períodos e a taxa de juro i são pequenos) enquanto que a segunda aproximação é válida quando a taxa de juro i é pequena.

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