Matemática Financeira e Informática de Gestão



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Método de Monte Carlo - Simulação.

Em modelos complicados, da manipulação algébrica das variáveis estatísticas não resultam distribuições com formas funcionais conhecidas. Uma alternativa muito poderosa é usar a simulação. Nesta metodologia conhecemos as funções distribuição de onde vão ser retirados os indivíduos e o modelo que transforma os valores individuais particulares nos resultados pretendidos. Então, vamos extrair de forma aleatória indivíduos e aplicar o modelo de forma a obter resultados pontuais com os quais vamos construindo um histograma da função distribuição dos resultados ou, sendo suficiente, obtendo estimativa para o valor médio e para o desvio padrão dos resultados.

Como a soma de variáveis aleatórias resulta na distribuição normal, também podemos usar como produto da simulação a média e o desvio padrão dos diversos resultados pontuais.
Simulação dos resultados no Excel. O Excel não é uma ferramenta muito adequada à implementação do Método de Monte Carlo porque apenas tem um “gerador de números” aleatórios da distribuição uniforme no intervalo [0, 1]. Assim, nos exemplos que vamos implementar vai ser utilizada essa distribuição usando a função Aleatório() de que resulta um número do intervalo [0, 1]. Para usar a distribuição uniforme no intervalo [a, b] uso a expressão a + b*Aleatório(). Se disser que “a variável X tem média 10 e a sua variabilidade é de 10%”, usarei no Excel a expressão =10*(1+2*(Aleatório()-0.5)*0.1). Neste caso assumo a distribuição uniforme contínua:
Distribuição uniforme contínua. Nesta distribuição todos os valores do domínio têm a mesma (densidade de) probabilidade de ocorrência. Podemos referir a distribuição uniforme dizendo, por exemplo, que a variável vale 5  2, caso em que o domínio (de f.d.p. positivo) é [3, 7], e a densidade de probabilidade é 0.25. Fica a nota (a retomar no exercício final de R) que quando a variação é  1, o desvio padrão é 0.577 (mais exactamente, (1/3)0.5). O melhor estimador para a média da d.u. é a média amostral e da amplitude da d.u é o desvio padrão amostral a multiplicar por 3.464.

Na parte final da disciplina será apresentada a linguagem de programação R que é de fácil aprendizagem e tem poderosos “geradores de números aleatórios” para funções de distribuição com diversas formas funcionais.


Ex.2.20. Na análise de um investimento a um horizonte temporal de 10 anos existem várias variáveis fundamentais que não são perfeitamente conhecidas: As quantidades vendidas, o preço de venda e os custos de produção. Em termos médios prevêem-se os seguintes valores:

Sendo que existe uma variabilidade de 10% nas previsões, qual será a variabilidade do lucro?



R. Coloco num quadro abaixo os valores médios (e.g., em C17:L20) e escrevo na célula C2: =C17*(1+2*(ALEATÓRIO()-0,5)*0,1) e depois copio em linha e em coluna para C2:L5. Agora, sempre que carregar em F9, obtenho outra simulação.

Para obter uma “amostra” de VALs selecciono B14 e copio o valor (colar especial+valor) para outro lado e repito a operação mudando de célula e teclando F4. Apresento nas figuras seguintes os resultados estatísticos de 1000 réplicas do modelo e que indica que o lucro segue distribuição normal com média 22.5 e desvio padrão 32.6.










Ex.2.21. Na análise da viabilidade financeira da construção de um reactor nuclear de água pesada utilizou-se uma simulação em que foi assumida uma vida útil de 70 anos com re-construção no ano 40 de laboração e desmantelamento no ano 65.

C17: =C16+D17*(1-$B$8)-J17*K17 D17: =$B$4/5

F17: =E17*(1+2*(ALEATÓRIO()-0,5)*$I$3)

G17: =F17*$B$2*24*365*$B$5/1000000*(1+2*(ALEATÓRIO()-0,5)*$I$4)

H17: =-G17*$B$6*(1+2*(ALEATÓRIO()-0,5)*$I$5)

I17: =SE(C16>0;-C16*$B$10;-C16*$B$11) J17: =G17+H17+I17

K17: =SE(J17>0;$B$13;1) L17 =J17*(1-K17)

Não apresentamos aqui a estrutura detalhada do modelo que terá que ser consultada directamente na folha de Excel.



Para os valores considerados para os parâmetros do modelo, realizaram-se 1000 réplicas e obtiveram-se os VAL apresentados no gráfico seguinte.

A observação da figura indica que o VAL é compatível com a distribuição Normal tendo média 51.28 milhões de Euros e desvio padrão 45.94 milhões de Euros. Assim sendo, a probabilidade de o projecto ter um VAL negativo é de 13,2%, que determinamos usando a função do Excel =DIST.NORM(0;51,28;45,94;VERDADEIRO).





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