Matemática Financeira e Informática de Gestão



Baixar 2,63 Mb.
Página27/32
Encontro01.07.2018
Tamanho2,63 Mb.
1   ...   24   25   26   27   28   29   30   31   32

Extensão à soma de m variáveis. Quando se somam m variáveis estatísticas, o valor médio obtém-se pela soma dos m valores médios e a variância obtém-se pela soma das m variâncias mais duas vezes as covariâncias entre todos os pares de variáveis. Para o caso de três variáveis teremos:


Ex.2.18. Para quem compra casa a crédito, é importante saber o rendimento disponível depois de paga a prestação da casa nos mês futuros onde se desconhecem o rendimento e a prestação. Vamos supor que o rendimento segue distribuição segue a distribuição R= N(1250, 250) com tendência de aumentar 0.1% ao mês e que a prestação é P = V.(EURIBOR + 0.5/prazo)/12 em que a EURIBOR segue distribuição N(0.03, 0.01). O coeficiente de correlação linear entre a EURIBOR e o rendimento é –0.2. i) Determine a evolução do rendimento disponível. ii) Para um prazo de 50 anos, qual será o montante que garante que em 90% dos primeiros 60 meses do contrato o rendimento disponível é maior que 750€?

R. i) Como RD = R – P = N(1250, 250)x1.001t – V.[N(0.03, 0.01) + 0.5/prazo]/12 são apenas somas de variáveis aleatórias e produtos por constantes, resulta uma distribuição normal com

Média = 1250 x1.001t– V.(0.03+0.5/prazo)/12



Desvio padrão = [(250x1.001t)2 + 2x0.2x250 x1.001t xVx0.01/12+ (Vx 0.01/12)2]0,5

ii) Com o modelo implementado no Excel resulta que o crédito não pode ultrapassar 57070€:

B2: =1250*1,001^A2-$F$1*0,04/12

C2: =((250*1,001^A2)^2+2*0,2*250*1,001^A2*$F$1*0,01/12+($F$1*0,01/12)^2)^0,5

D2: =DIST.NORM(750;B2;C2;VERDADEIRO)

F2: =MÉDIA(D2:D61)

E depois copio em coluna. Finalmente, uso a ferramenta “atingir objectivo”, definir a célula F2 para o valor 0,1 por alteração da célula F2.


Ex.2.19. Potenciais clientes com idade A = N(40, 10) anos pretendem fazer um seguro de vida em que alguém recebe 1000€ quando ele morrer que será com a idade M = N(75, 15) e que M não está correlacionado com A. Supondo que a seguradora capitaliza os prémios à taxa 3% ao ano e que prevê arranjar 1000 clientes não correlacionados entre si, determine, o prémio anual (antecipado e igual para todos) de forma que o lucro médio menos o desvio padrão do lucro seja positivo (traduz uma probabilidade de 85% do lucro ser positivo).

R. A duração do individuo será D = MA = N(75 – 40, (102+152)) = N(35, 18.03). A prestação necessária resolve (ver nota1, p.31 e nota2, p.37) e o lucro = PrémioP que é uma variável aleatória de distribuição com forma funcional desconhecida mas com média Mi e desvio padrão DPi (que vamos calcular no fim). Como vou somar o lucro de 1000 indivíduos não correlacionados, resultará uma distribuição normal N(1000Mi, 10000.5DPi) = N(1000Mi, 18.03DPi). Será normal por estar a somar muitas distribuições mesmo que com forma desconhecida.

Usando o Excel (avaliando as durações por anos) determino Mi e desvio padrão DPi para um dado prémio. Resolvendo o modelo para um lucro médio menos o desvio padrão igual a zero, obtenho 35.03 € para o prémio anual e um VA para o negócio de N(2.382€/ano, 2.382€/ano).



Calculava a dens. de probabilidade da duração, B2: =DIST.NORM(A2; 35;18,03;FALSO)

O Lucro em função da duração, C2: =$G$1-(1000*0,03)/(1-1,03^-A2)/1,03^(A2+1)

Calculava a média e o d.p. ponderados do lucro, D2: =C2*B2; E2: =B2*(C2-$D$73)^2 copiava em coluna; D73: =SOMA(D2:D71)/$B$73 e copiava em linha.

Calculava para os 1000 indivíduos, D74: =1000*D73; E74: =1000^0,5*E73; F74: =D74-E74

Utilizava a ferramenta “atingir objectivo”, definir a célula F74 para o valor 0 por alteração da célula F2.

Na coluna B deveríamos ter probabilidades e temos densidades de probabilidade o que é equivalente quando os espaçamentos entre valores são unitários (ou idênticos).

A distribuição normal não se aplica perfeitamente à duração de vida porque esta não pode ser menor que zero nem maior que 70 anos (o que justifica que a probabilidade total tenha somado apenas 94.77%). No entanto, em termos pedagógicos, a este nível a questão é pouco relevante.

Assumir um valor esperado igual ao desvio padrão traduz uma probabilidades de 15.9% de ter prejuízo, =DIST.NORM(0;D74;E74;VERDADEIRO). Se usasse o modelo para determinar Média = 0.5*D.P (F74 teria =D74-0.5*E74) , resultava um prémio de 37.42€/ano e o lucro anual seria N(4.765,25€/ano; 2.382,63€/ano) e probabilidade de prejuízo de 2.3%.

Interessante experimentar que quanto mais seguros fizer (porque não estão correlacionados), mais baixo poderá ser o prémio.


Por falta de tempo, este capítulo só se leccionou até aqui mas será importante para a formação que os alunos leam a parte sobre os índices de preços e a taxa de inflação.

1   ...   24   25   26   27   28   29   30   31   32


©livred.info 2017
enviar mensagem

    Página principal