Matemática Financeira e Informática de Gestão



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Propriedades do desvio padrão

a) Se os indivíduos forem todos iguais, o desvio padrão é zero.

b) O desvio padrão do produto da constante a pela variável X é igual ao produto da constante pelo desvio padrão da variável:



c) O desvio padrão da soma de uma constante com uma variável X é igual ao desvio padrão da variável X.




Estimação. Quando a nossa fonte de informação é uma amostra, o que será o caso mais frequente, o melhor estimador para o desvio padrão é o desvio padrão amostral mas descontado de um grau de liberdade (perdido na estimação do valor médio - conceito a desenvolver em Estatística). Então, em termos algébricos, dividimos a soma dos desvios quadráticos dos indivíduos relativamente à média amostral por (n – 1) e achamos a sua raiz quadrada:

A esta expressão pode ser dada outra forma:



Em termos algébricos, as propriedades do desvio quadrático médio, S2, e da sua raiz quadrada, S, são as mesmas que as da variância e do desvio padrão, respectivamente.


Ex.2.13. Voltando ao Ex.2.7 (foram pescados em Janeiro de 1990 bacalhaus cujo peso foram 15.5, 17.9, 21.3, 13.1, 9.5, 7.9, 3.5, 19.1, 23.3, 7.2 e, em Janeiro de 2008, 10.4, 12.2, 11.1, 13.6, 9.2, 12.6, 6.1, 13.2, 12.3 e 13.4) no sentido de estudar a viabilidade de pesca de arrasto (pescar todos juntos) i) que poderá dizer quanto à evolução da heterogeneidade dos peixes? ii) Sendo que a distribuição dos pesos dos peixes é normal, qual a estimativa da percentagem de peixes do banco de pesca que tem elevado valor comercial (mais de 15kg)?

R. Acrescentaria ao Ex.2.7, D2: =(B2-B$12)^2 e copiava em linha e coluna. B13: =(Soma(D2:D11)/(Contar(B2:B11)-1))^0,5 e copiava em linha. Podia também usar a função =DesvPad(B2:B11), ii) B16: = 1-Dist.Norm($B$15;B12;B13;VERDADEIRO).

A média de peso da população de bacalhau diminuiu e a sua heterogeneidade também. A percentagem de peixes com elevado valor comercial diminuiu de 43.0% para 6.2%.



Desvio padrão ponderado e estimado com dados agrupados


Como referimos no cálculo da média amostral, quando os indivíduos têm diferente representatividade (peso), também devemos calcular a variância (e o desvio padrão) usando a distância média quadrática ponderada. Havendo n indivíduos (ou estratos) em que a representatividade do indivíduo (ou estrato) i é wi, obtemos uma boa estimativa para o desvio padrão usando a seguinte expressão:


Ex.2.14. Suponha que sou intermediário de legumes. Compro os legumes a 0.50€/kg, pago 75€ pelo transporte e o preço de venda é desconhecido mas tem distribuição normal com média 0.60€/kg e desvio padrão de 0.15€/kg. i) Determine qual vai ser o meu lucro de intermediar 1000kg de legumes. ii) Determine a probabilidade de eu ter prejuízo.

R. i) Lucro = V.(Pvenda – Pcompra) – Ctransporte = 1000[N(0.60, 0.15) – 0.50] – 75

L = N(600, 0.15x1000) – 575 = N(25, 150)

ii) No Excel teríamos A1: =Dist.Norm(0;25;150;Verdadeiro)  43.38%

2 – Diversificação do risco

Neste ponto vou mostrar como a estatística nos pode ajudar a controlar o risco de uma actividade económica. Em termos matemáticos, trata-se de operações de soma de variáveis estatísticas.





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