Matemática Financeira e Informática de Gestão



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Média aritmética ponderada – amostragem estratificada


Cada indivíduo da amostra representa uma parte do total de indivíduos que formam a população. E existem situações em que uns indivíduos representam mais indivíduos que outros. Estes casos acontecem na amostragem estratificada em que a extracção não é perfeitamente aleatória mas tem em atenção algumas propriedades (facilmente observáveis) dos indivíduos, como por exemplo, a região em que são inquiridos.

Vejamos um exemplo ilustrativo da importância deste conceito. Nos finais de 1999, recolheu-se uma amostra aleatória na China, Hong-Kong e Macau (total de 3 amostras), tendo-se observado que 0.59; 5.90 e 11.01 indivíduos em cada cem eram proprietários de um carro de passageiros, respectivamente. Como os indivíduos não foram escolhidos aleatoriamente (pois separamo-los por regiões), não podemos usar a média aritmética simples das três amostras para estimar o valor médio dessa variável na China unificada. Isto porque a amostra da China representa 1.253 milhões de habitantes, a de Hong-Kong representa 6.607 milhões e a de Macau representa 0.434 milhões. Assim sendo, a reunião da informação das três regiões para estimar o valor médio de veículos por cem habitantes na China unificada deverá ser calculada como uma média ponderada usando como ponderador o número relativo de indivíduos que cada amostra representa:



Este exemplo representa uma amostragem estratificada porque se vai estratificar a população segundo uma variável (e.g., idade, localização) e vai-se recolher uma amostra de cada estrato i da população.



Se seleccionarmos uma amostra de cada estrato e cada estrato tiver a importância wi, então o valor médio da população é melhor calculada (i.e., o erro será menor) se utilizarmos a média aritmética ponderada da amostra:

As propriedades da média aritmética ponderada são idênticas à da média aritmética simples pelo que não se apresentam aqui, podendo a sua prova ser usada como exercício.


Ex.2.9. Supondo que (dados fictícios) perguntamos a portugueses e a espanhóis se preferiam o Obama (ao McCain) e 32% dos portugueses e 72% dos espanhóis responderam afirmativamente. Obtenha uma estimativa (boa) para as preferências dos ibéricos.

R. Como a Espanha tem 5 vezes mais população, então um inquirido em Espanha representa 5 vezes mais pessoas que um inquirido em Portugal pelo que as preferências médias são .
Ex.2.10. Supondo que (dados fictícios) no Norte existem 1.5 milhões de casas, no Centro 1.25 milhões de casas, em Lisboa e Vale do Tejo 2.0 milhões de casas, no Alentejo 0.5 milhões de casas e no Algarve 1.5 milhões de casas, estime o preço médio das casas em Portugal Continental (Norte 1000 €/m2, Centro 1010 €/m2, Lisboa e Vale do Tejo 1356 €/m2, Alentejo 1073 €/m2 e no Algarve 1373 €/m2).

R.



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