Matemática Financeira e Informática de Gestão



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Fig.2.3 – Distribuição N(0, 1), i.e., normal com média zero e desvio padrão unitário

Apesar de a expressão analítica da função densidade de probabilidade da Distribuição Normal ser muito complicada (tem forma exponencial) é muito importante porque caracteriza bem os fenómenos que resultam da soma de sub-fenómenos independentes.


Estimação do valor médio.

Em termos económicos, o valor médio quantifica a “componente sem risco” do fenómeno que estamos a analisar. É a medida que contém mais informação pelo que, se tivermos que atribuir apenas um valor a um indivíduo particular (desconhecido), será esta medida a que deve ser utilizada (ou outra medida de tendência central como, por exemplo, a mediana). Prova-se que, se os indivíduos forem igualmente representativos, o melhor estimador do valor médio é a média aritmética dos indivíduos da amostra.


Média aritmética. Obtemos a média aritmética dos indivíduos da amostra, também denominada por média aritmética simples, somando os valores que a variável estatística assume para todos os indivíduos que conhecemos (em principio, um valor diferente para cada indivíduo) e dividindo a soma pelo número de indivíduos. Havendo n indivíduos na amostra teremos a média aritmética simples pelo somatório:

Fica a nota de que, sob o pressuposto de que os indivíduos são igualmente representativos, a média aritmética simples é o melhor estimador do valor médio da população porque minimiza a soma dos quadrados dos desvios (é o estimador dos mínimos quadrados). Este assunto é tratado de forma aprofundada na disciplina de Métodos Econométricos e de Previsão e na disciplina de Estatística II.


Ex.2.7. Um barco de investigação capturou em Janeiro de 1990 na zona pesqueira da Terra Nova 10 bacalhaus cujo peso foram 15.5, 17.9, 21.3, 13.1, 9.5, 7.9, 3.5, 19.1, 23.3 e 7.2. Sendo que em Janeiro de 2008 foram pescados outros 10 bacalhaus (usando a mesma técnica) cujo peso foram 10.4, 12.2, 11.1, 13.6, 9.2, 12.6, 6.1, 13.2, 12.3 e 13.4, que poderá dizer quanto à evolução da população de bacalhau?

R. Estima-se que em Janeiro de 1990 o peso médio unitário dos bacalhaus era de 13.83kg e em Janeiro de 2008 era de 11.41kg. Assim, as estimativas apontam no sentido da diminuição do peso médio unitário da população de bacalhau.
Por exemplo, para obter uma estimativa do preço médio de uma habitação (em Euros por m2), posso utilizar a amostra das habitações avaliadas pelos bancos e comunicado ao INE, para as 5 regiões de Portugal Continental. No 1º trimestre de 2004 tínhamos, em média, no Norte 1000 €/m2, no Centro 1010 €/m2, em Lisboa e Vale do Tejo 1356 €/m2, no Alentejo 1073 €/m2 e no Algarve 1373 €/m2 (Fonte: www.ine.pt).
Ex.2.8. No sentido de ver da viabilidade de lançar uma linha de produtos de limpeza para os simpatizantes do FCP, pretende-se saber, em média, qual o seu consumo mensal deste tipo de produtos. Determine a despesa média usando a amostra obtida num inquérito de rua cujos resultados foram os apresentados no quadro seguinte:


i

Simpatiza

Consumo

i

Simpatiza

Consumo

i

Simpatiza

Consumo

1

Não

15€

6

Sim

15€

11

Sim

26€

2

Sim

17€

7

Sim

11€

12

Não

12€

3

Sim

18€

8

Não

29€

13

Sim

15€

4

Não

13€

9

Não

31€

14

Sim

13€

5

Sim

21€

10

Sim

18€

15

Sim

23€

R. A estimativa para o valor médio será (17+18+21+15+11+18+26+15+13+23)/10 = 17,70€.

Propriedades da média aritmética simples (e do valor médio da população)

Sendo que para todos os indivíduos a variável assume o mesmo valor a, a média aritmética é esse mesmo valor:

A média o produto da constante a por uma variável X é igual ao produto da constante pela média aritmética da variável (corresponde a uma mudança de escala):



A média da soma da constante a com a variável X é igual à soma da constante com a média da variável:



A média da soma de duas variáveis é a soma das médias das variáveis:







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