Matemática Financeira e Informática de Gestão



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Fig.2.2 - Frequência relativa numa amostra com 10000 números



b) Variáveis contínuas
Frequência relativa (em intervalos). Quando o domínio da variável estatística é contínuo (i.e., um número real), existe uma quantidade infinita de casos possíveis pelo que a probabilidade de um ocorrer um caso particular é zero. Se pensarmos em termos de variável aleatória, a probabilidade da variável assumir um valor particular é zero. Por exemplo, a probabilidade de encontrar uma pessoa que tenha exactamente 1.7643454323456434 metros de altura (ou qualquer outro número exacto) é zero. Uma estratégia para ultrapassar este problema é dividir o domínio possível em intervalos e quantificar a frequência relativa dos indivíduos em cada um dos intervalos. Por exemplo, fazemos uma divisão da EURIBOR nas classes [0 a 2%]; ]2% a 3%]; ]3% a 4%]; ]4% a 5%]; ]5% a 8%], e maior que 8%.

Vamos assumir, sem perda de generalidade, que a característica de todos os indivíduos de cada classe é valor médio da classe. Esse princípio não pode ser utilizado nas classes não limitadas (e.g., a classe “maior que 8%”).
Densidade de probabilidade. Se o comprimento de uma classe diminuir (e.g., for dividida ao meio) a probabilidade de cada uma das classes diminui até que, quando tiverem comprimento infinitesimal, a probabilidade se aproxima de zero (também será infinitesimal). No sentido de construir uma medida que ultrapasse este enfraquecimento, dividimos a probabilidade pelo comprimento da classe. Essa nova medida denomina-se por densidade de probabilidade e existe como uma grandeza “grande” mesmo quando atribuída a um ponto.
Ex.2.6. Supondo que a probabilidade de a EURIBOR atingir determinado valor (de um intervalo) é [0 a 2%]  5%; ]2% a 3%]  15%; ]3% a 4%]  30%; ]4% a 5%]  35%; ]5% a 8%]  12% e ]8% a 11%]  3%, determine as respectivas densidades de probabilidade.

R. [0 a 2%]  2.5%; ]2% a 3%]  15%; ]3% a 4%]  30%; ]4% a 5%]  35%;
]5% a 8%]  4% e ]8% a 11%]  1%.
Função de Distribuição. Como num problema concreto as densidades de probabilidade da população são estimadas usando uma amostra, a divisão dos indivíduos pelas várias classes obriga a recolher amostras grandes. Como, as probabilidades são previsões a priori sobre a concretização a posteriori do fenómeno em estudo, os valores próximos serão praticamente equivalentes. Então, é teoricamente aceitável relacionar as densidades de probabilidade dos pontos (ou classes) vizinhos ajustando uma função contínua: a função de distribuição. A forma funcional dessa f.d. terá uma justificação teórica para ser aplicada a um problema concreto, e é caracterizada por alguns (poucos) parâmetros (normalmente, um ou dois). Desta forma, a estimação das densidades de probabilidade dos vários intervalos (e, nos limite, dos infinitos pontos) traduz-se na estimação de apenas um ou dois parâmetros.

Também podemos utilizar a função distribuição cumulativa F(x) que quantifica a probabilidade de ocorrência de um valor X menor ou igual a x: F(x) = p(X x). Então, a diferença F(b) – F(a) quantifica a probabilidade de ocorrência de um valor dentro do intervalo ]a, b], em que ser aberto ou fechado é numericamente irrelevante.


Distribuição Normal. É a distribuição mais importante porque é “a distribuição limite” que resulta de somarmos acontecimentos independentes (depois veremos o que este conceito representa). É caracterizada por dois parâmetros, o valor médio, , e o desvio padrão, e tem a forma de um sino (ver Fig. 2.3 para uma população com = 0 e = 1). Desta forma, são mais prováveis serem observados os valores próximos da média. A probabilidade de o indivíduo extraído cair dentro do intervalo ] ; + ] é de 68% e de cair dentro do intervalo ] – 2; +2] é de 95%.



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