Matemática Financeira e Informática de Gestão



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i) Noção de variável estatística


Uma primeira metodologia para diminuir a complicação de um objecto é descrevê-lo com apenas algumas variáveis.

Por exemplo, para nos descreverem de forma perfeita uma pessoa que vamos buscar ao aeroporto seriam necessárias muitas variáveis. No entanto, como é suficiente uma descrição grosseira, concentrarmo-nos apenas em algumas variáveis distintivas: e.g., no sexo, na cor da pele e do cabelo, na altura, na idade e no peso: “é uma mulher de pele morena, cabelo louro, com 1.75 metros, 50 anos de idade e 70kg de peso”.

As variáveis seleccionadas têm que ser informativas, i.e., quando avaliadas não podem assumir valores iguais para todos os indivíduos (e.g., não interessa dizer que a pessoa tem duas pernas).

Assim, as variáveis estatísticas descrevem características parcelares dos objectos. Têm que ser características passíveis de medição (ou de classificação).

As variáveis podem ser cardinais, ordinais ou categóricas. As variáveis cardinais são comparáveis em ordem (1500cc é mais do que 1000cc) e em magnitude (1500cc é mais 500cc que 1000cc). As variáveis ordinais são comparáveis em ordem (“bom estado” é melhor do que “estado razoável”) mas não em magnitude. Por fim, as variáveis categóricas não são possíveis de comparar (azul não é comparável com vermelho). Também podemos classificar as variáveis em quantitativas (que traduzem quantidades) e qualitativas (que traduzem qualidades).

De todas as variáveis estatísticas possíveis de utilizar, por questões de poupança, apenas se consideram as estritamente necessárias para descrever o fenómeno/objecto com o detalhe pretendido.
Ex.2.2. Uma instituição de crédito ao consumo pretende descrever os clientes (para distribuir pelos gestores de contas). Identifique algumas variáveis que considera relevantes na descrição dos clientes (e fáceis de obter).

R. Nível de escolaridade, se está empregado, o rendimento mensal, estado civil, idade, se tem casa própria.

ii) Noção de população / variável aleatória


Identificadas as variáveis estatísticas que caracterizam cada indivíduo, a estatística irá responder (parcialmente) ao problema de não conhecermos a priori que valor vão assumir essas variáveis num indivíduo particular. Por exemplo, para quem compra casa a crédito, o seu esforço financeiro de um determinado mês depende do rendimento e da taxa de juro EURIBOR (que indexa a prestação). No entanto, no dia da compra essas grandezas não são conhecidas, e.g., no futuro 240º mês de vigência do contrato de crédito.

Em termos conceptuais vou preencher a falta de informação relativamente a um indivíduo particular assumindo que o meu indivíduo vai ser uma escolha aleatória da população a que pertence e da qual eu conheço os “valores médios”. No exemplo dos aviões, não sei se um cliente particular é deficiente motor ou não mas sei que cada cliente pertence a uma população em que 3% dos indivíduos são deficientes motores (ver Fig. 2.1). Apesar de fisicamente, uma variável aleatória descrever que é intrinsecamente aleatório, por exemplo, a face que resulta de atirar uma moeda ar, podemos, em termos conceptuais, imaginar que temos um processo aleatório ou apenas informação imperfeita sobre um fenómeno determinístico (i.e., não aleatório). Vamos utilizar a “experiência estatística” de extracção aleatória de um indivíduo de uma população para explicar o conceito de variável aleatória.



iii) Caracterização da população / da variável aleatória.

Sendo que descrevemos os indivíduos por uma variável estatística, caracterizamos cada um pela medida que essa variável assume. Como o nosso modelo vai assumir que o indivíduo desconhecido é retirado aleatoriamente de uma população, não será possível nem relevante caracterizar cada um dos indivíduos. Será suficiente ter alguma informação que caracterize a população.



a) Variáveis discretas
Frequência relativa. No caso de a variável assumir um número pequeno de valores (i.e., uma variável discreta com poucos valores possíveis), eu posso caracterizar a população pela percentagem de indivíduos que assumem cada um dos valores possíveis. Por exemplo, eu posso dizer que os Portugueses, 47% dos indivíduos são homens e 53% são mulheres. Haverá exemplos em que o número de casos possíveis é muito grande mas em que alguns casos (ou classes) concentram a quase totalidade dos indivíduos (No exemplo dos aviões, os valores abaixo de 15 concentram mais de 99.9% das “viagens”, ver Fig. 2.1).

Noção de extracção aleatória e de probabilidade


Entende-se que ocorre uma extracção aleatória quando a escolha do indivíduo é feita de forma independente das suas características. Por exemplo, na escolha de um número do Euro-milhões é escolhida uma bola sem ter em atenção nenhuma das suas características (i.e., o seu número).

O conceito de probabilidade associa-se à ideia de que eu vou retirar aleatoriamente um indivíduo de uma população. Em termos numéricos é igual à frequência relativa dos valores observados na população. Por exemplo, eu posso dizer que a probabilidade de numa viagem haver 6 deficientes motores é de 15.8% (ver Fig.2.1). Quer esta grandeza dizer que, apesar de numa viagem específica “sair” um número qualquer de deficientes motores, se eu repetisse a extracção aleatória de muitas viagens, por exemplo, 500 milhares de milhões de vezes, então em 15.8% das vezes na viagem haveria 6 deficientes motores.

Esta frequência relativa teórica, que em termos conceptuais se obtém pela repetição um número infindável de vezes da “experiência aleatória” (nas mesmas condições), é uma interpretação clássica do conceito de probabilidade (de ocorrência).

A soma da probabilidade de todos os casos possíveis é um.


Ex.2.3. Quando se atira um dado ao ar, qual é a probabilidade de sair um 3? E caso se atirem dois dados, qual é a probabilidade de somarem 3 pontos?

R. Trata-se de uma “população teoricamente conhecida”: existem 6 casos possíveis e uma possibilidade de sair 3 pelo que a probabilidade é 1/6.

ii) Existem 36 casos possíveis, (1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6), (2;1), (2;2), … e duas possibilidades de somar 3 pontos, (1;2) e (2;1), pelo que a probabilidade é 2/36 = 1/18.
Uso da informação populacional. Sendo que eu tenho um modelo (por exemplo, de cálculo do prémio de um seguro de vida em função da idade de morte) onde posso transformar a informação sobre o indivíduo no resultado que pretendo mas não sei a priori essa informação (i.e., a idade de morte), terei que utilizar em sua substituição a informação que tenho da população de onde o indivíduo vai ser extraído. Mas agora, como terei que calcular um valor para cada elemento da população, vou também ter como resultado uma população (e não apenas um número normal).
Ex.2.4. Um indivíduo com 35 anos pretende fazer um seguro de vida em que a viúva recebe 1000€ quando ele morrer. Assuma-se que a seguradora capitaliza os prémios à taxa de 3% ao ano. Assuma-se que a probabilidade de o indivíduo morrer com 65 anos é de 70% e de morrer com 85 anos é de 30%. Determine, se o prémio anual for de 20€, qual será o lucro anual da seguradora (dado pela diferença entre o prémio e a entrega necessária para capitalizar nos 1000€ a pagar no futuro)?

R. A renda necessária resolver (ver nota da p.31). Se morrer aos 85 anos, a entrega deveria ser de 8.61€ pelo que o lucro será 20–8.61 = 11.39€/ano; Se morrer aos 65 anos, entrega deveria ser 20.41€/ano pelo que o lucro será (um prejuízo) –0.41€/ano. Então, o lucro será uma extracção aleatória de uma população em está associado a 70% dos indivíduos um lucro de 11.39€/ano e a 30% dos indivíduos um prejuízo de 0.41€/ano. Podemos também dizer que o lucro é uma variável aleatória com 70% de probabilidade de se concretizar como 11.39€/ano e com 30% de probabilidade de se concretizar como ­–0.41€/ano.
Nota2(8Nov): Também surgiram dúvidas no cálculo do lucro da seguradora porque este apenas se concretiza quando o cliente morrer (ou desiste do seguro). No entanto, estou a considerar, sem perda de generalidade, que, em termos contabilísticos, a seguradora constitui reservas exactamente do valor da prestação necessária para capitalizar os 1000€ e considera o restante como lucro do exercício que distribui como dividendos. Também não estava claro no próximo exercício que cada “idade de morte” traduz o ponto médio de um intervalo de dez anos.


Ex.2.5. Estender o ex.2.4 assumindo as probabilidades do quadro.

R. Em D6: =(B$1*$B$2)/(1-$D$2^-(B6-$B$3))/$D$2^(B6-$B$3+1); E6: =B$4-D6 e copiava em coluna:


O resultado de substituir a informação do individuo (que não temos) pela informação que temos sobre a população não permitirá ter uma resposta perfeita de qual deverá ser o prémio anual mas, ainda assim, permite realizar cálculos algébricos e obter resultados que apesar de incertos podem melhorar a minha capacidade de decisão. Deve-se ter sempre em mente que, derivado de haver concorrência no mercado de seguros, será impraticável a seguradora impor um prémio que, seja qual for a posteriori a idade de morte, o lucro seja positivo (existindo sempre o risco de segurador ter prejuízo no contrato).
Caracterização da população / Estimação das probabilidades. Obtenho as probabilidades de cada classe observando todos os “indivíduos” que formam a população. Existem fenómenos em que esta operação é (teoricamente) possível, e.g., quando se retira uma carta de um baralho de 40 cartas, a probabilidade de sair uma em particular (e.g., o ás de copas) é de 2.5%. No entanto, na generalidade das situações não é possível observar todos os indivíduos. Por exemplo, eu não posso observar para todos os indivíduos o tamanho de sapatos que usam. Também, quando o nosso indivíduo vai ser concretizado no futuro, parte dos indivíduos (os do futuro) ainda não existem.

Nos casos em que não é possível avaliar, por questões teóricas ou económicas, as propriedades de todos os indivíduos da população, teremos que nos contentar em estimar as propriedades recorrendo a uma amostra que contém apenas uma (pequena) parte dos indivíduos. A estimação terá associado um “pequeno” erro que resulta de os indivíduos de duas amostras não serem necessariamente os mesmos, erro esse que decresce com o aumento do tamanho da amostra.



A estatística permite prever qual será a ordem de grandeza do erro de assumir a estimativa como se fosse o parâmetro.


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