Matemática Financeira e Informática de Gestão



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MFIG


Matemática Financeira e Informática de Gestão

Pedro Cosme da Costa Vieira

Faculdade de Economia do Porto

Setembro 2008

Preâmbulo

Por definição, a Matemática Financeira reúne os modelos matemáticos usados na resolução dos problemas e tratamento das teorias da Economia Financeira. Assim, considera principalmente os modelos dos instrumentos financeiros. Neste curso de carácter introdutório vou apenas considerar instrumentos simples.

Na primeira parte do texto abordo os instrumentos financeiros denominados sem risco, i.e., os contratos de mutuo e as obrigações. Considero ainda rendas a taxa fixa e contratos de compra e venda a crédito.

Na segunda parte do texto introduzo instrumentos financeiros com risco. Considero que a rentabilidade futura do activo é desconhecida e, por isso, modelizada com recurso a modelos estatísticos. Considero ainda modelos de investimento com risco e medidas de desempenho (VAL e TIR). A premência de considerar logo no primeiro ano do curso os instrumentos financeiros com risco força a introdução, apesar de superficial, de alguns conceitos estatísticos fundamentais na sua modelização. Apesar de, na óptica dos especialistas, faltar a este texto rigor e profundidade na apresentação dos conceitos estatísticos, assumo as falhas pela vantagem de não me desviar do pretendido: introduzir modelos para os instrumentos financeiros com risco. Nas disciplinas de Estatística, os conceitos estatísticos serão retomados e tratados com todo o rigor que merecem. Agradeço a ajuda do Paulo Sousa e da Adelaide Figueiredo neste ponto programático.

Na terceira parte do texto, apresento a essência da programação em R que é uma poderosa ferramenta a utilizar na Matemática Financeira.

O programa que apresento é arriscado porque introduz, logo no primeiro ano, modelos relativamente complexos e que usam conceitos que apenas serão rigorosamente explicados em disciplinas de anos posteriores. Considerei obrigatório correr este risco para tentar ultrapassar as dificuldades que redução do curso a três anos lectivos criou. Por isso, se o propósito correr menos bem pede-se compreensão, assegurando que vou estar atento aos estímulos e reprimendas que irão surgindo e usa-los como motivação para o melhorar do programa desta disciplina.


Índice
Capítulo 1. Taxa de juro, capitalização e desconto 5

1. Taxa de juro

Componentes da taxa de juro

Taxa de inflação.

Remuneração real.

O risco.

2. Capitalização

Capitalização simples

Capitalização composta

3. Desconto – Valor presente

4. Pagamento da dívida – Rendas

Renda perpétua.

Renda de duração limitada.

Taxa de juro implícita no contrato

5. Preços correntes e preços constantes

6. Análise de investimentos

Valor actual líquido do investimento

Necessidades de financiamento.

Taxa interna de rentabilidade

Break-even point

Capítulo 2. Risco e sua diversificação 30


1. Conceitos estatísticos básicos

Noção de variável estatística


Noção de variável aleatória

Variáveis discretas

Variáveis contínuas

Função de Distribuição

Distribuição Normal

Estimação do valor médio

Estimação do desvio padrão

2. Diversificação do risco


Associação entre variáveis

Variáveis discretas

Variáveis contínuas

Soma de variáveis estatísticas (diversificação do risco)


Distribuição da soma.

Média da soma.

Variância e desvio padrão da soma.

Método de Monte Carlo - Simulação.


3. Números índice

Índice simples como valor relativo a uma base

Índice de cabaz fixo (de Laspeyres)

Compatibilização de tramos da série com diferentes bases

Taxa de variação




Capítulo 3. Programação – Introdução à linguagem R 64


1. Objectos.

Constantes.

Expressões.

Vectores.

2. Operações com vectores.

Reciclagem.

Sequências.

Sequências de números aleatórios.

Indexação - Acesso a elementos do vector.

Filtragem de vectores.

3. Funções.

Execução repetida – comando for( ).



Bibliografia 76

Capítulo 1. Taxa de juro, capitalização e desconto




1. Taxa de juro


A taxa de juro, do lado de quem empresta, traduz a recompensa que alguém recebe por adiar o consumo de hoje para o futuro. Do lado de quem pede emprestado, traduz o custo a pagar por poder antecipar o consumo do futuro para hoje. Assim, a taxa de juro é o preço do crédito. Normalmente, a taxa de juro refere-se a um período de tempo, e.g., um ano.

Por exemplo, um lavrador empresta ao vizinho 100kg de milho que lhe paga a taxa de juro de 1% por semana. Então, ao fim de uma semana, o vizinho entregará a 101kg de milho.

Também podemos pensar a taxa de juro como o preço de um bem futuro em relação a um bem presente. Se considerarmos que o bem presente é a unidade de valor (a moeda), então o preço do bem futuro será menor que a unidade. Se, inversamente, considerarmos que o bem futuro é a unidade de valor (a moeda), então o preço do bem presente será maior que a unidade.
Ex.1.1. Eu tenho 10 galinhas que posso comer (galinhas de hoje) ou emprestar a um vizinho meu que me dá 11 galinhas daqui a um ano (galinhas do futuro). i) Qual é a taxa de juro? ii) qual é o preço das galinhas do futuro relativamente às galinhas do presente?

R. i) A taxa de juro resolve 11 = 10.(1 + r)  r = 10%. ii) Compro 11 galinhas do futuro com 10 unidades “monetárias” (10 galinhas de hoje) pelo que preço de cada galinha do futuro será de 0,909 unidades “monetárias” (i.e., galinhas de hoje).

Como vivemos numa economia com moeda, os empréstimos são principalmente feitos em moeda. Supondo que o preço de cada galinha são 5€, eu (vendo no mercado as 10 galinhas e) empresto 50€ ao meu vizinho e este devolve-me daqui a um ano 55€ (e eu compro no mercado 11 galinhas).


Devo notar que, apesar de eu emprestar dinheiro (que não é consumível), estou a prejudicar o consumo presente de bens ou serviços pois poderia comprar (e consumir) no presente mas apenas compro (e consumo) quando obtiver o dinheiro de volta (no futuro). Em contrapartida, a quem eu empresto, não podia comprar bens e serviços para consumir no presente mas passa a poder comprar. Em termos reais, considerando o empréstimo de galinhas ou de moeda, o resultado final é o mesmo: troquei 10 galinhas de hoje por 11 galinhas do futuro. No primeiro caso o preço do bem futuro é menor relativamente ao preço do bem presente enquanto que no segundo caso a minha quantidade de dinheiro é maior no futuro. Em ambos os casos temos uma taxa de juro de 10%.

A pertinência da troca entre bens presentes por bens futuros tem a sua principal justificação no ciclo de vida humana: o indivíduo tem necessidade de consumir durante todos os 80 anos da sua vida mas apenas é produtivo entre os 25 anos e os 65 anos (ver, fig. 1.1).


Fig. 1.1 – Relação entre rendimento e consumo ao longo da vida


Na infância/juventude o indivíduo consome e não produz, comprando “bens do presente” e vendendo “bens do futuro” (i.e., endivida-se). Na meia-idade, o indivíduo entrega os “bens do futuro” que vendeu em criança (i.e., amortiza as dívidas), consome “bens do presente” e vende “bens do presente” para comprar “bens do futuro” (i.e., poupa). Quando se reforma, consome os “bens do futuro” comprados durante a meia-idade (i.e., gasta o poupado), (ver, fig. 1.2).

Analisemos o exemplo do ciclo de vida do indivíduo da Fig. 1.2 em termos monetários. A criança pede emprestados 75000 Euros (aos pais) para gastar em consumo e investir em capital humano; na meia-idade trabalha para poder consumir, pagar a dívida contraída em criança mais os juros (aos pais) e poupar 100000 Euros (emprestar a um filho). Quando se reforma, recebe o dinheiro poupado na meia-idade (do filho) mais os juros para gastar em consumo.


Fig. 1.2 – Rendimento, consumo, endividamento e poupança ao longo da vida


Outra razão para trocar entre bens presentes por bens futuros é o capital aumentar a produtividade do factor trabalho (e de outros factores). Mesmo que eu durasse para sempre, podia pedir dinheiro emprestado para estudar (o que aumentaria o meu salário futuro, com o qual amortizava a dívida).



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