Imaginar para Aprender: o caso do Matemáfica



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Imaginar para Aprender: O caso do Matemáfica

Paulo Almeida

Instituto Superior Técnico

Aprender matemática é sobretudo aprender uma certa forma de pensar, que evolui, como todas as formas de pensar, e é por isso que não se aprende matemática hoje como se fez ontem e se fará amanhã. O mesmo sucedeu, sucede e sucederá à aprendizagem do ler e do escrever; os próprios modos de ver e descrever — que também se aprendem — vão variando com o tempo. O hoje, ontem, amanhã a que nos referimos devem entender‑se quer no sentido do tempo histórico, quer no sentido do tempo psicológico individual.

Em todas essas fases e em todas aquelas aprendizagens há que recorrer a dois elementos: a imaginação e a técnica, entendida esta como habilidade no fazer. Mas estes elementos intervêm em doses, tempos e momentos diferentes, sendo a assimilação de uma técnica sempre menos problemática que a aquisição da faculdade de imaginar. Uma boa parte do insucesso escolar resulta do desconhecimento deste facto, não tanto da parte dos professores ‑ em cujo quotidiano ele é por demais evidenciado ‑ mas de quem, tendo a responsabilidade superior de gerir o ensino, giza reformas, impõe ritmos e prazos, à mesa de secretárias e em alheamento das realidades. É sobretudo a esses responsáveis que me dirijo para destacar o papel primordial da imaginação na aprendizagem da matemática bem como a exigência de certas condições para a adquirir.

Aprender matemática, a ler e escrever ou a ver e descrever, são tudo formas de aprender a pensar. Atentemos ao que nos diz do papel da imaginação uma das pessoas que mais se debruçou entre nós sobre o "aprender a ler, escrever e contar" ‑refiro‑me ao psiquiatra infantil João dos Santos (1913‑87):


Não se escreve com a caneta e a mão, mas com as ideias e a úwgínação (Santos, 1983, p.67).
Para aquele cientista note‑se ainda,
... a leitura é, basicamente, matemática (Santos, 1983, p. 70).
A dificuldade maior da criança que lê ou escreve está no recriar das situações e não no soletrar das palavras; ao ler: “o rinoceronte comeu a ameijoa” a criança é obrigada a imaginar a cena e interrogar‑se à talvez da flabilidade da sua recriação, quiçá imaginando novos cenários ou consultando os adultos sobre a maneira como os rinocerontes comem as ameijoas. É bem conhecida a maior facilidade para aprender a ler da parte das crianças que ouviram contar muitas histórias, tendo sido obrigadas deste modo a imaginar.

O simples ver implica uma interpretação entre várias hipóteses possíveis e, em geral, arrasta uma indagação da parte de quem vê — como Kant nos ensinou. Ver é, de alguma forma, compreender e, como é sabido, nem toda a gente vê da mesma maneira. Dir-se-ia, parafraseando João dos Santos, que não se vê com os olhos ou com os óculos; não deixa de ser oportuno comentar que o matemático Plateau (1801‑93), apesar de ser cego de nascença, foi quem melhor viu as formas que assumem no espaço as películas de sabão, formulando um problema que leva o seu nome e ainda está por resolver.

O biólogo UexkulI, que se dedicou ao estudo do comportarnento animal, recriou o modo de visão de diferentes animais construindo imagens que falam por si, e bem sugerem como, já a esse nível, no reconhecimento do meio, é importante decifrar para ver. Pensar que se aprende matemática só com a técnica é pensar que se "escreve com a caneta e a mão" ou que se vê "com os olhos e os óculos", ponto de vista defendido pelos partidários de certa "matemática operacional" para quem a matemática será afinal um repositório de receitas e truques. (…) Mas se o estímulo da imaginação é indispensável para aprender matemática, convém analisar o processo que conduz da fantasia à imaginação e desta à criação, já que só cria quem imaginou e só imagina quem fantasiou.

Imaginar, ou seja, elaborar imagens mentais, em suma, esquematizar, é essencialmente abstrair, palavra cuja raiz latina — abstrahere — significa literalmente “arrancar”, arrancar do concreto naturalmente, que ainda em latim significa 11 matéria". A matéria que serve de arranque para imaginar é porém o mais das vezes a fantasia, nascida ela própria ora do sonho, do devaneio, da inspiração, da observação ou da ficção.

Imaginar exige de quem o faz não ver tudo o que se vê e ver algo do que não se vê. Esta é aliás a principal característica da ciência moderna ocidental que, como se sabe, teve com a matematização do real feita por Galileu o seu ponto de viragem. Uma bola rolando no chão após um impulso, mesmo num chão muito polido, acaba sempre por parar, mas, segundo Galileu, uma bola ideal — um ponto material — nunca pararia uma vez instantaneamente impulsionada, num movimento rectilíneo sobre um plano ideal. Esta experiência é porém apenas ideal e só pôde fazer‑se pela primeira vez na imaginação de Galileu... É porém o ponto de partida de toda a mecânica clássica.

Analogamente, Kepler imaginou um complexo sistema de poliedros encaixados uns nos outros intercalando as órbitas dos planetas, para tentar explicar certos dados astronómicos e vendo o que ninguém vim Como é bem sabido, a explicação estava errada, mas se somos indulgentes para com Kepler como nos atreveremos a não sê‑lo com os jovens alunos que necessariamente terão de errar e muito — no duplo sentido da palavra — para desenvolver a sua imaginação praticando em jogos de abstracção?

Imaginar é um percurso sinuoso levemente “browníano” e eivado de erros, aqui e ali, que algumas vezes conduz a acertos. Sendo o erro uma condição do sucesso corno se pode reprimi‑lo cegamente? As apertadas condições em que as mais das vezes os professores são obrigados a trabalhar, sem poder dar aos seus alunos o tempo de errar, negam as ocasiões para imaginar.

Sobre “O Elogio do Erro” o matemático A. Pereira Gomes escreveu recentemente um interessante ensaio (Gomes, 1994) onde se analisa a importância inovadora de alguns erros na história da matemática e onde refere ter dito a uni colega com sentido de humor, pensando em Erasmo: 1sto de fazer o'elogio do erro' é uma loucura!" ao que o cole‑a, acertadamente segundo o autor, replicou: “Mas não é um erro!”

Uma ilustração jocosa da capacidade de ver imaginando pode respigar-se ainda de um texto de João dos Santos:
Foi há muitos anos: o professor de psiquiatria apresentou na aula o senhor Silva e a dada altura da observação, mostrou‑lhe 2 dedos e perguntou: "Quantos dedos estão aqui?" O Silva respondeu: Cinco". o professor explicou aos alunos que se não tratava de uma deficiência de visão mas talvez de um auioniatisnio adquirido na infância. Voltou afazer a pergunta mostrando 3 dedos. O Silva respondeu, com a entoação de quem está cheio de paciência: Ciiinco ". 0 professor demonstrou aos alunos que se não tratava de erro de percepção mas provavelmente de falta de "senso crítico". Então também ele, cheio de paciência disse: “Ora veja lá, senhor Silva... aqui está 1, depois com este faz 2 e mais este faz 3... não é” E o Silva: “Então e os outros que estão atrás ?!” (Santos, 1983, p. 71)
O Silva estava pois apto a pensar abstractamente: imaginou os dedos que faltavam onde não os via... É um lugar comum dizer que “a matemática é abstracta” mas esquece‑se frequentemente que a imaginação exige uma primeira forma de abstracção e como tal o seu estímulo é condição sine qua non para a aprendizagem da matemática.

Imaginar é porém mais que fantasiar: com o cinzel da abstracção, o manejo dos símbolos sujeitos às regras de jogo internas da matemática, delimita os possíveis, domando a fantasia e impedindo‑a de resvalar para o delírio, o pensamento abstruso, ou de se cristalizar num simples mito. Mas imaginar pressupõe um são e duradouro convívio com a fantasia, superando-a.

Eis um belo exemplo de imaginação desbragada e sem limites, porque sem regras internas que a controlem, na forma de um anúncio — de inegável qualidade publicitária, salvo a gramática — publicado há oitenta anos num jornal regional e incluído num pequeno livro de Maria Alberta Menéres dedicado à imaginação (Menéres,1993, p. 87):
Eu, Manuel Ferreira, surgião, rígedor, comerciante e agente de enterros.

Respeitosamente informa as senhoras e cavalheiros, que tira dentes sem esperar um ininuto, apelica cataplasmas e salapismos a baixo preço e vixas a 20 reis cada, garantidas.

Vende pelumas, cordas, corta calos, juanetos, aços partidos, tusquia burros unia vez por mês, e trata das unhas ao ano.

Amollajacas e tizoiras, apitos a dez réis, castiçais, fregideiras, e outros instrumentos musicais a preços reduzidos

Ensina gramática e discursos de maneiras finas, acim como cathecismo e oretographia, canto e danças, jogos de sociedade e bordados. Perfumes de todas as qualidades. Como os tempos vão maus, pesso licença para dizer que comessei também a vender galinhas, lans, porcos e outra criação. Camisolas, lenços, ratueiras, enchadas, pás, pregos, tejolos, carnes, chourissos, e outrasferramentas de jardim e lavoira, cigarros, pilrol, aguardente e outros materiais inflamáveis. Hortaliças, frutas, músicas, lavatórios, pedras de amolar, sementes e loiças, e manteiga de vaca e de porco. .

Tenho um grande curtimento de tapetes, cerveja, velas e phosphoros, e outras conservas como tinias, sabão, vinagre, compro e vendo trapos velhos, chumbo e latão. Ovos frescos meus, paçaros de canto como moxos, jumentos, piruns, grilos, e depósito de vinhos da minha lavra. Tualhas, cobertores e todas as qualidades de roupas. Ensino jiographia, aritmetica e outras chinezisses.
Muitos alunos, obrigados a ingerir abstracções à força sem antes lhes ter sido oferecida ocasião para fantasiar e imaginar partindo do concreto, guardarão para si que de matemática aprenderam “polinómios, estatística, assimptotas, binómios (de Newton), limites, triângulos, funções, potências, indeterininações, senos e cosenos, ... , e outras chinezisses”.

Ilustremos o processo de abstracção com o famoso “problema das sete pontes de Konigsberg” — a velha cidade de Kant — posto a Leonhard Euler (1707‑1783): Será possível fazer na cidade um passeio "euleriano", ou seja, regressando ao ponto de partida e cruzando uma só vez cada uma das suas sete pontes? A cidade pode representar‑se através duma planta que se pode simplificar para os fins em vista e reduzir até a um simples esquema, ou grafo, em que as pontes são figuradas como arcos unindo quatro pontos que representam as quatro zonas da cidade. Uma matriz com quatro linhas — uma para cada zona — e sete colunas — uma para cada ponte — permite uma representação ainda mais abstracta: na casa da matriz correspondente a certa linha i e a certa coluna j coloca‑se um 1 ou um 0 consoante a zona i seja ou não directamente acedida pela ponte

Em qualquer um dos anteriores níveis de descrição abstracta pode concluir‑se pela impossibilidade do passeio em Konigsberg. Mas se, por um processo inverso, partirmos de uma qualquer matriz com apenas zeros e uns, um número m de linhas e um número n de colunas obteremos uma representação abstracta de um grafo a que poderemos associar uma planta simplificada de uma cidade imaginária cabendo perguntar se em tal cidade um passeio "euleriano" seria possível. Pensando um pouco chegaremos à conclusão, como Euler, que um tal passeio é possível e só se for par o número de "uns" em cada linha!

Podemos raciocinar mais comodamente com um esquema, um grafo ou uma matriz mas em querendo veremos por detrás uma cidade.

Não se pode abstrair a partir do nada e pretender inculcar num jovem a capacidade de abstrair tendo-he cortado a possibilidade de imaginar durante a sua infância é pretender ensinar música às pedras. De quem se tolheu, em pequeno, o passo natural ao pensamento abstracto, só pode esperar‑se em adulto pensamentos abstrusos.
Nada melhor para avaliar da qualidade do que se fez num país no combate ao insucesso escolar em matemática do que sopesar a importância que nele se reserva à educação infantil e pré‑primária, bastiões que deviam ser de fantasia e imaginação.

Por um processo dual ao que faz passar da fantasia à imaginação, a concretização das imagens conduz por sua vez à criação — resolvidos que terão de ser múltiplos problemas através da invenção, envolvendo engenho, desejo e intuição. Criar é afinal preservar a imaginação em formas viáveis.

É no processo criativo que intervem imprescindivelmente a técnica pois há problemas a resolver que necessitam um saber fazer rotineiro. Reduzir porém a matemática à técnica, que desinserida é escravizante, é não compreender que, como dizia o grande matemático G. Cantor (1845‑1918),
A essência da matemática é a liberdade.
Liberdade só com limites no espectáculo íntimo do ver "funcionar internamente" que sempre acompanha a actividade matemática e que, segundo os psicanalistas, é a fonte primacial do prazer.

Criar não é porém possível se apenas se possui a técnica, pois não podem resolver‑se problemas não tendo sido minimamente formulados. Se só soubéssemos resolver problemas que outros tenham formulado isso significaria que nunca teríamos dúvidas, abdicando assim da condição número um que segundo Platão distingue os homens dos outros animais.

Pelo recurso a automatismos e rotinas é mais fácil apreender uma técnica que fazer dela um uso criativo, pois isso pressupõe que em fase anterior já se desenvolveu adequadamente a imaginação. É certamente mais fácil guiar automóvel do que com ele descobrir um local aprazível e "desconhecido". Por estas razões é mais difícil "ensinar a imaginar" do que ensinar uma técnica e a tentação é grande de escolher a via mais fácil quando aperta o espartilho da pressa e se toma impossível respeitar o tempo natural de cada uni. As garantias de “sucesso escolar” para fins estatísticos podem conseguir‑se se pagarmos um preço de formar alunos sem imaginação e sem dúvidas, mas é precisamente isso que pretendemos aqui combater. Recentemente, J. Louza e J. Taborda (1994) chamavam a atenção, com justeza, para o facto de não haver grandes diferenças.. “entre as intoxicações por meios químicos ou biológicos e as causadas pelo ensino degradado e burocrático”.

Consideramos que o maior bloqueio à aprendizagem da matemática e a um verdadeiro sucesso escolar é hoje em dia a falta de estímulo à imaginação de que decorre a dificuldade em abstrair.

O pensamento conceptual e abstracto, de que a matemática é um paradigma, manipula símbolos imaginando‑lhes quando necessário o substrato concreto e a negação desse recurso esvazia a possibilidade daquela forma de pensar. Uma pessoa não é o seu nome, nem uma função se esgota numa sua representação gráfica, nem a sala em que escrevo é para mim apenas o que está à minha vista; uma representação de uma coisa não é essa coisa, bem entendido. Tão pouco é por eu definir o conceito de função que as funções passam a existir, é por eu saber que há funções que eu as defino.

A inteligência dos conceitos espelha a inteligência imaginativa dos símbolos, que reproduzem por sua vez a inteligência do concreto. A aprendizagem da matemática terá de respeitar estas fases sob pena de cair na perversidade típica da sociedade do espectáculo que consiste em tomar o símbolo pela própria coisa; um deputado não é o povo que o elegeu, representa‑o simbolicamente e é perigoso confundir o símbolo com a coisa. Na matemática como na vida em geral, essa confusão ‑ inevitável se a imaginação escasseia ‑ conduz em defintitivo à incapacidade de reagir e de pensar, pois é estéril o jogo se os símbolos são vazios de significados. Só restaria então accionar a técnica, isto é, obedecer. Mas como disse o grande matemático Chfford (1845‑79):


Só há uma coisa mais perversa que o desejo de mandar, é a vontade de obedecer.
Em contrapartida, a aprendizagem matemática, ao pôr em claro — pela imaginação e pela abstracção — a diferença entre os símbolos e as coisas é, também, aprendizagem de cidadania.
Referências Bibliográficas
Santos, J. ( 1983). Ensaios sobre a educação: O falar das letras. Lisboa: Livros Horizonte.

Gomes, A. P. (1994). O elogio do erro (Texto de conferência proferida na Fundação Calouste Gulbenkian).

Menéres, M. A. (1993).0 que é a imaginação? Lisboa: Difusão Cultural.

Louza, J., & Duarte, J. T. (1994). Capitalismo e promiscuidade. (Comunicação feita ao congresso Portugal, que futuro?)







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