Encontro – ciclo – aritmética



Baixar 18,05 Kb.
Encontro26.11.2017
Tamanho18,05 Kb.

Encontro 1 – ciclo 3 – aritmética


  1. Três atletas correm numa pista circular e gastam, respectivamente, 2,4 min, 2,0 min e 1,6 min para completar uma volta na pista. Eles partem do mesmo local e no mesmo instante. Após algum tempo, os três atletas se encontram, pela primeira vez, no local de largada. Neste momento, o atleta mais veloz estará completando quantas voltas?

Solução:

Para utilizar apenas números inteiros, em vez de considerar minutos como unidade de tempo, vamos utilizar segundos. Como um minuto possui 60 segundos, multiplicando os tempos em minutos por 60, vemos que os atletas percorrem uma volta na pista em 144 seg, 120 seg e 96 seg. Como cada atleta percorre voltas na pista em tempos que são múltiplos do tempo que ele gasta para percorrer uma volta, vemos que eles se encontrarão novamente, pela primeira vez, no local da largada após um tempo igual ao mmc(144,120,96) = 1440 segundos. Neste instante os atletas estarão completando 1440÷144 = 10 voltas, 1440÷120 = 12 voltas e 1440÷96 = 15 voltas. Portanto, neste instante, o atleta mais veloz (aquele que gasta menos tempo para percorrer uma volta) estará completando 15 voltas.




  1. Três arames medem respectivamente, 180m, 252m e 324m. Pretende-se dividi-los em pedaços de mesmo comprimento. Qual deverá ser este comprimento de modo que o número de pedaços seja o menor possível? Em quantos pedaços os arames serão divididos?

Solução:

Para que a quantidade de pedaços seja a menor possível, o tamanho de cada um destes pedaços deve ser o maior possível. E como queremos dividir os arames em pedaços do mesmo tamanho, vemos que este tamanho d deve ser um divisor de 180, 252 e 324. Assim concluímos que d é o máximo divisor comum de 180, 252 e 324.



Como 5, 7 e 9 são relativamente primos, paramos o processo e concluímos que mdc(180,252,324) = 2^2·3^2 = 36. Portanto os arames serão divididos em pedaços de 36 metros sendo que um rolo será dividido em 180÷36 = 5 pedaços, o outro rolo em 252 ÷ 36 = 7 pedaços e o último rolo em 324÷36 = 9 pedaços.




  1. Determine o menor número inteiro n > 1 tal que n deixa resto 1 quando dividido por 156 e n também deixa resto 1 quando dividido por 198.

Solução: Como n deixa resto 1 quando dividido por 156 temos que n tem a forma n = 156a + 1. Como n deixa resto 1 quando dividido por 198, n tem a forma n = 198b + 1. Assim vemos que n − 1 = 156a e n − 1 = 198b e, portanto, n − 1 é um múltiplo comum de 156 e de 198. Como queremos encontrar o menor tal número n, podemos então concluir que n−1 é o mínimo múltiplo comum de 156 e 198.

Logo n−1 = mmc(156,198) = 2^2 ×3^2 ×11×13 = 5148 e, portanto, n = 5149.




  1. Em uma lousa são escritos os 2014 inteiros positivos de 1 até 2014. A operação permitida é escolher dois números a e b, apagá-los e escrever em seus lugares os números mdc(a,b) (Máximo Divisor Comum) e mmc(a,b) (Mínimo Múltiplo Comum). Essa operação pode ser feita com quaisquer dois números que estão na lousa, incluindo os números que resultaram de operações anteriores. Determine qual a maior quantidade de números 1 que podemos deixar na lousa.

Solução: A maior quantidade de números 1 que podemos deixar é 1007. Primeiro vamos mostrar como obtê-los. Para isso, basta tomar os pares de números consecutivos, (1,2), (3,4), (5,6), ..., (2013,2014) e realizar a operação em cada par. Sabendo que números consecutivos não têm fator comum, cada um dos máximos divisores comuns será 1.

Não é possível obter mais do que isso, pois a quantidade de números pares não se altera no decorrer das operações. Isso ocorre pois, se operarmos com dois números pares, teremos como resultado dois números pares, se operarmos com dois números ímpares teremos como resultado dois números ímpares e se operarmos com um número par e um número ímpar obteremos também um número par e um número ímpar. Começamos com 1007 números pares e sempre teremos 1007 números pares.



©livred.info 2017
enviar mensagem

    Página principal