Disciplina: mtm 5262 Álgebra II



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PLANO DE ENSINO

DISCIPLINA: MTM 5262 - Álgebra II

CÓDIGO: SEMESTRE: 2002/2

Nº DE AULAS POR SEMANA: 06

Nº DE SEMANAS: 18

PROFESSOR(AS): Albertina Zatelli.

CURSO: MATEMATICA
EMENTA: Grupos. Subgrupos, classes laterais e Teorema de Lagrange. Subgrupos normais e grupos quociente. Homomorfismos de grupos. Grupos cíclicos. Grupos de permutações. Teorema de Cayley. Teorema de Cauchy. Teoremas de Sylow (aplicações). Grupos simples. Grupos solúveis.
I - OBJETIVO: Propiciar ao aluno condições de trabalhar com a estrutura de grupo aplicando os resultados mais relevantes da teoria.

II - CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:



  1. Grupos e Subgrupos

  • Definição de grupo e grupo abeliano

  • Propriedades elementares de um grupo; unicidade da solução da equação ax=b; unicidade do elemento neutro; unicidade do simétrico; x é elemento neutro de G se, e somente se, xa=a para algum a  G.

  • Exemplos: construir tábua de operações que torna um conjunto finito em grupo; (Z, +); (Q,+); (R,+); (C,+); (nZ,+); (Zn,+); Se (A,+, . ) é anel então (A,+) é grupo abeliano e (U(A),.) é grupo;

  • Raízes da Unidade

  • Sn (descrever os elementos para n=2,3,4)

  • Grupo de Rotações

  • Grupos Diedrais (descrever os elementos de D3 e D4)

  • Definição de subgrupo, e condições equivalentes a definição.

  • Exemplos

  • Determinação dos subgrupos de Z

  • Subgrupo gerado pôr um conjunto - grupos cíclicos

  • Ordem de elemento e suas propriedades




  1. Classes Laterais e o Teorema de Lagrange

  • Definição das classes laterais do subgrupo H do grupo G. Relações de equivalência (à direita e à esquerda) definidas pôr H em G.

  • A partição formada pelas classes de equivalência.

  • Exemplos: Cálculo efetivo das classes laterais.

  • Cardinalidade das classes laterais e a definição de índice.

  • Teorema de Lagrange e seus corolários (não esquecer o pequeno teorema de Fermat).

  • Exemplos.




  1. Subgrupos Normais e Grupos Quociente

  • Definição de subgrupo normal.

  • Operações entre classes laterais fica bem definida quando o subgrupo é normal.

  • Exemplos de subgrupos normais.

  • Grupo Quociente.

  • Exemplificar, com cálculo efetivo dos elementos do grupo quociente.

  • Propriedades.

  • Grupos Simples: definição, exemplos e propriedades.




  1. Homomorfismos de Grupos

  • Definição e exemplos.

  • Propriedades imediatas: leva elemento neutro em elemento neutro, leva o inverso de a no inverso da imagem de a, transforma subgrupo em subgrupo, composição de homomorfismos é homomorfismo, etc.

  • Definição de núcleo, verificação que o núcleo é subgrupo normal do domínio, e que o núcleo é trivial se, e somente se, o homomorfismo é injetor.

  • Propriedades da imagem inversa.

  • Teorema dos homomorfismos e seus corolários. Após a demonstração, ilustrar com exemplos a correspondência 1-1 entre subgrupos de G que contém H e o subgrupos de G / H.

  • O grupo dos automorfismos com seu subgrupo normal formado pelos automorfismos internos.

  • Classificação, via isomorfismo, dos grupos cíclicos finitos e infinitos.

  • Teorema de Cauchy (Ives pg 176) . ESTE ITEM TAMBÉM PODE SER COLOCADO NO PARÁGRAFO SOBRE TEOREMAS DE SYLOW.




  1. Grupos de Permutações e o Teorema de Cayley

  • Provar o Teorema de Cayley (usá-lo como motivação para um estudo mais cuidadoso dos grupos de permutações);

  • Elementos notáveis de Sn: r-cíclos (comprimento e ordem), ciclos disjuntos, transposições.

  • Todo elemento não trivial de Sn se fatora, de maneira única, como produto de cíclos disjuntos.

  • Sn é gerado pelas transposições.

  • Permutação par e permutação ímpar.

  • Propriedades do grupo Na.




  1. Teorema de Sylow (aplicações)

  • Apresentar os Teorema de Sylow, destacando que o primeiro Teorema de Sylow é o melhor resultado na direção da recíproca de Lagrange.

  • Conseqüências dos Teorema de Sylow sobre a existência de subgrupos de ordem potência de primo, e sobre a quantidade de tais subgrupos.

  • Exemplos.

  • Estudo dos grupos simples de ordem menor que 60.




  1. Grupos Solúveis

  • Definições e exemplos (não esquecer S2, S3, S4).

  • Todo p-grupo é solúvel.

  • Subgrupo de grupo solúvel é solúvel.

  • Seja H subgrupo de G. Então G é solúvel se, e somente se, H e G / H são solúveis.

  • Informações: (i) Se ordem de G é divisível pôr no máximo 2 primos então G é solúvel

(ii) Se ordem de G é impar então G é solúvel.

Sugestão: 4 provas, que podem ser assim divididas.


Prova 1: unidade 1.

Prova 2: unidades 2 e 3.

Prova 3: unidades 4 e 5.

Prova 4: unidades 6 e 7.

III - METODOLOGIA

O conteúdo será desenvolvido através de aulas expositivas.

Será avaliada a capacidade do aluno para efetuar demonstrações sob um ponto de vista mais formal.
IV - AVALIAÇÃO

Quatro avaliações, a média final será calculada por média aritmética simples da notas obtidas nas quatro avaliações.

V - OBSERVAÇÃO

De acordo com a Resolução 17/CUn/97, Art. 70, § 2, o aluno com frequência suficiente e média das notas de avaliação do semestre entre 3,0 e 5,5, terá direito a uma nova avaliação sendo que a nota final será calculada segundo o art. 71, § 3o, ou seja, através da média das notas das avaliações parciais e a nota obtida na avaliação estabelecida no citado parágrafo.


VI – BIBLIOGRAFIA

  1. Domingues, H. H. - Álgebra Moderna, 2ª ed., Atual Editora Ltda, SP, 1982.

  2. Garcia, A. e Lequain, Y. – Álgebra: um curso de introdução, IMPA, RJ, 1988.

  3. Garcia, A. e Lequain, Y. – Elementos de Álgebra, IMPA, RJ, 2002.

  4. Gonçalves, A., Introdução à Álgebra, IMPA, RJ, 1999.

  5. Hefez, A. - Curso de Álgebra, vol. I, Coleção Matemática Universitária, IMPA/CNPq, RJ, 1993.

  6. Herstein, I. - Tópicos de álgebra , Livros Técnicos e Científicos Editora Polígono., 1970.

  7. Monteiro, L. H. J. - Elementos de Álgebra, Livros Técnicos e Científicos, RJ, 1978.

Florianópolis, 16 de setembro de 2002.
Albertina Zatelli

Coordenadora da Disciplina



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