De 4 – Matemática potências com expoentes negativos



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PA_Matemática_9_DE04
Potências com expoentes negativos
Atividade 1 – O que você já sabe
Professor, a lenda do xadrez é muito utilizada para motivar os alunos a compreenderem o significado de notação científica, em que apresentamos também os expoentes negativos, que é a maneira mais simplificada de tratarmos números com muitas ordens naturais ou decimais.
Sugere-se que esta DE seja trabalhada quase toda em grupo para que os alunos possam trocar ideias e buscar a generalização dos procedimentos para transformar um número na notação científica, ou seja, a divisão de potência em expoente negativo.
A única atividade a ser desenvolvida individualmente é a que propõe a solução da Questão Online (Atividade 5).
Dê tempo para os alunos lerem a lenda do jogo de xadrez e assimilarem esse grande número apresentado à turma.
Ao final da atividade, questione os alunos se eles sabem jogar xadrez e se gostariam de aprender. A ideia é uma proposta para você começar a organizar em sua escola oficinas de aprendizado desse jogo extremamente interessante e que auxilia no ensino da Matemática.
Como fazer isso?

1 – Comece identificando os alunos que se interessam em aprender o jogo.

2 – Caso você domine o jogo e suas regras, já temos meio caminho andado. Se não costuma jogar, procure saber se há colegas na escola, entre os professores e quadro gestor, que sabem jogar xadrez com segurança.

3 – Já temos os alunos interessados e os professores em potencial. É hora de pensar em organizar a oficina de xadrez, que pode ser a proposta da área de Matemática para a escola. Vale a pena e pode ser uma atividade bem interessante.


Atividade 2 – O expoente negativo na prática

Professor, oriente seus alunos a completarem a tabela corretamente. Observe os resultados em vermelho.




n

1

2

3

4

5

2n

2

4

8

16

32

 multiplica por 2

Explique aos alunos que, à medida que caminhamos para a direita, os resultados são multiplicados pela base, neste caso 2, conforme pediu o inventor do jogo de xadrez.


Em seguida, comente com eles os estudos do matemático renascentista Nicole d’ Oresme, sobre cálculos com expoentes negativos.
Após isso, desafie os alunos a resolverem a atividade interativa que segue, estimulando-os a utilizar a calculadora para resolver as potências:


n

0

1

2

3

4

5

6

3n

1

3

9

27

81

243

729

divide por 3 --------------------------------------------

Na sequência, os alunos são desafiados a responder sobre o que acreditam que pode acontecer quando percorrermos essa tabela para valores cada vez menores de n?


Espera-se que eles respondam que os resultados serão menores que 1 a partir de n = -1 (que é um passo importante para entender os expoentes negativos). Oriente-os nesse sentido. Essa questão ficará mais clara na tabela apresentada na Atividade 3.
Atividade 3 – Os expoentes negativos e o eles que representam

n

-3

-2

-1

0

1

2

3

4n

1

64


1

16


1

4


1

4

16

64

Divide por 4 ----------------------------------

Aqui você e os alunos trabalharão mais o conceito de expoente negativo. Trabalhe com eles os conceitos desta atividade e detenha-se o tempo que for necessário nas informações trazidas pelas tabelas da DE. Ressalte para os alunos que assim como podemos caminhar para a direita – infinitamente – multiplicando o resultado da potência pela base, também podemos caminhar infinitamente para a esquerda, dividindo o resultado da potência pela base. Foi nisso que o matemático d´Oresme pensou. Com isso ele chegou à representação de uma potência com expoente negativo, quando a base se apresentava na forma de fração, como demonstra a tabela na DE do aluno.
Em seguida, apresente esta tabela de forma mais completa a seus alunos:

4-1 = 1/4 , 4-2 = 1/16, 4-3 = 1/64

41 = 4, 42 = 16, 43 = 64
Se tiver tempo, pode estender a tabela para outros expoentes negativos. E, na continuação, explore com os alunos os exemplos propostos na DE e vá comentando a propriedade utilizada e as passagens feitas, como, por exemplo:

- Note que na fração o numerador se transforma em denominador e vice-versa.


Números muito grandes ou muito pequenos e seus significados
Professor, nesta atividade é importante que os alunos, em dupla, percebam a dimensão dos números propostos abaixo. Eles também devem saber que, nestes casos, utilizamos uma propriedade para compensar essa dimensão e sua escrita.
Por exemplo, dado o número 342. 105, para que o primeiro fator esteja compreendido entre 1 e 10, ele deverá ser dividido por 100, mas para o produto não ser alterado, o segundo fator deverá ser multiplicado por 100, ou seja:

342.105 = 342 . 100. 105 = 3,42 . 102.105 = 3,42.107

100
Reforce que se tratando de expoentes positivos para a potência de base 10, o número em questão é natural e representa um número demasiadamente grande. Tratando de expoentes negativos para a potência de base 10, no entanto, o número em questão é decimal e representa uma medida muito pequena.
Trabalhe com os alunos as demais informações desta atividade, verificando se eles estão assimilando os conteúdos desenvolvidos. Caso perceba a necessidade, retome o que já foi tratado e trabalhe novamente com os alunos para que eles não fiquem com dúvidas a esse respeito.
Atividade 4 – Agora é com você!
Aqui os alunos irão desenvolver um exercício em uma planilha do Excel para registro das suas informações. Por isso, será necessário explicar à turma como trabalhar com essas planilhas, em suas versões mais simples.
No final, lembre os alunos de que devem salvar o seu arquivo e enviá-lo para você.
Durante o exercício, oriente os estudantes a realizarem algum tipo de anotação para entenderem a dimensão dos números e verificarem as propriedades exploradas nesta aula. A intenção deste exercício é exatamente esta: mostrar que há várias formas de representar um mesmo número. Cabe a eles escolherem a que julgarem mais fácil.




1 = 0,01 = 10-2

100



2 = 0,02= 2. 10-2

100




4 = 0,04 =4. 10-2

100




8 = 0,08 =8. 10-2

100




16 =0,16=1,6.10-1

100




32 = 0,32 = 3,2.10-1

100





64 =0,64=6,4.10-1

100





128= 1,28 =

100


1,28 . 100



256 = 2,56 =

100


2,56 . 100



512 = 5,12 =

100


5,12 . 100



1 024 = 10,24 =

100


1,024 . 101



2 048 = 20,48 =

100


2,048 . 101



4 096 = 40,96 =

100


4,096 . 101



8192 = 81,92 =

100


8,192 . 101



16 384 = 163,84

100


= 1,6384 . 102



32 768 = 327,68

100


= 3,2768 . 102



65 536 = 655,36

100


= 6,5536 . 102



131 072 = 1310,72

100


= 1,31072 . 103



262 144 = 2621,44

100


= 2,62144 . 103



524 288 = 5242,88

100


= 5,24288 . 103



1 048 576 = 10485,76

100


= 1,048576 . 104



2 097 152 =

100


20971,52 = 2,097152 . 104




4 194 304=

100


41943,04= 4,194304. 104



8 388 608=

100


83886,08= 8,388608. 104



16 777 216=

100


167772,16= 1,6777216. 105




33 554 432=

100


335544,32= 3,3554432. 105



67 108 864=

100


671088,64= 6,7108864. 105



134 217 728=

100


1342177,28= 1,34217728. 106



268 435 456=

100


2684354,56= 2,68435456. 106


536 870 912=

100


5368709,12= 5,36870912. 106



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