Da descoberta à aplicação na resolução de problemas Uma construção do conhecimento



Baixar 81,3 Kb.
Encontro01.08.2017
Tamanho81,3 Kb.


: da descoberta à aplicação na resolução de problemas - Uma construção do conhecimento.

CRISTIANO OTHON DE AMORIM COSTA

: da descoberta à aplicação na resolução de problemas

Uma construção do conhecimento

Profa. Dra. Célia Maria Carolino Pires

Pontifícia Universidade Católica

São Paulo – 2003

Resumo: Este artigo pretende investigar, a partir do referencial teórico de Rolando Garcia e Terezinha Nunes, a obtenção experimental do número irracional , seu uso em aplicações práticas e na resolução de problemas. Busca-se, através de um breve histórico sobre o tema, relacionar o número  com a evolução do pensamento matemático. A investigação parte de reflexões sobre a teoria construtivista observada por Rolando Garcia, e a obtenção dos conceitos matemáticos de acordo com as pesquisas de Terezinha Nunes e Peter Bryant. Com atividades práticas sintonizadas com os Parâmetros Curriculares Nacionais, adaptadas de um livro paradidático e uma publicação de desafios lógicos, desenvolveu-se uma seqüência que sugere a aplicação dos conceitos adquiridos. Nesta seqüência de atividades são analisadas: a obtenção do número , e a resolução de uma situação-problema que envolve a relação de medidas em um círculo. O sujeito da pesquisa é um grupo de adultos que cursam a 1a série do Ensino Médio Supletivo (Educação para jovens e adultos) na rede pública estadual.

Palavras-chaves: número , números irracionais, circunferências, comprimento e área, resolução de problemas, geometria.

Abstract: This article intends to investigate, from the theorical reference by Rolando Garcia and Terezinha Nunes, the experimental obtainment of irrational number , its use in practical applications and in the mathematical problems. It is sought through a brief historical about the theme, to relate the number  with the evolution of mathematical thoughts. The investigation departs of reflections about the constructivist theory observed for Rolando Garcia, and the obtainment of the mathematical conceptions according to Terezinha Nunes and Peter Bryant's researches. With practical activities synchronized with the Brazilian’s Curricular Parameters, adapted from support’s textbooks and a publication of logical challenges, a sequence that suggests the application of the acquired conception was developed. In this sequence of activities are analyzed: the obtainment of number  and the resolution of a problem-situation that involves the relation of measure in a circle. The subject of this research is an adult group that courses the first grade in high school (Ensino Médio Supletivo) - Education for young and adults - in public school.

Key words: PI number, irrational numbers, circumferences, length and area, problem resolution, geometry.

Introdução: Busca-se, com este trabalho, investigar a construção do conceito de número irracional através da obtenção experimental do PI, bem como as relações de proporcionalidade realizadas para sua aquisição, as relações de medida do diâmetro e da área do círculo com as medidas do lado, da diagonal e da área do quadrado, e, finalmente, a aplicação dos conceitos adquiridos na resolução de um problema. O referencial teórico baseia-se principalmente no construtivismo do ponto de vista de Rolando Garcia1, e nas pesquisas desenvolvidas por Terezinha Nunes e Peter Bryant2. Entretanto, assim se fizerem necessárias, outras referências e outros teóricos, como Piaget, Vygotsky e Vergnaud, serão dadas, mesmo porque, no caso, fazem parte ou são referências também para as teorias de Garcia e, Nunes e Bryant. As atividades foram extraídas de um livro paradidático3, e o problema matemático de uma publicação sobre desafios matemáticos4. Embora esta investigação seja mais ampla, focaliza-se apenas a análise da obtenção do número de PI, e a resolução do problema.

Objetivos: Analisar a obtenção empírica do número irracional  e seu significado. Analisar a resolução de um problema associado ao cotidiano, utilizando ou não, conhecimentos previamente desenvolvidos. Verificar o referencial teórico frente aos resultados obtidos.

Breve Histórico do : Pretende-se relatar, de forma sucinta, da gênese de sua descoberta até as recentes atualizações sobre o número irracional que, em notação moderna, é conhecido pela letra grega minúscula . Uma das referências mais antigas, referente à relação da medida da circunferência com a medida do diâmetro, que resistiu ao tempo, está contida no Papiro de Ahmes5, demonstrando a regra egípcia6 para obter a área do círculo, que, se comparada à fórmula moderna A=r2, equivale a atribuir a  o valor 31/6, uma aproximação muito boa para 3 mil e 500 anos atrás. Os babilônicos (cerca de 2 mil anos antes da nossa era) tinham o  como 31/87, uma aproximação ainda melhor que os egípcios. Arquimedes (287 a 212 a.C.) parte de um método semelhante ao dos babilônicos para obter médias geométricas e, ao analisar a razão da medida da circunferência com a medida do diâmetro de um círculo através de um polígono regular de 96 lados, chegou a um valor entre 3.1410 e 3.14288 (aproximadamente 22/7). Apolônio de Perga (262 – 190 a.C.) chega a 3,1416 e Ptolomeu de Alexandria (início da nossa era) obtém 377/120. Na China, o engenheiro hidráulico Tsu Ch’ung –chih (430-501) chegou, de forma ignorada até hoje, a um valor de  entre 3.1415926 e 3.1415927, extraordinário para a época. Neste mesmo período, na Índia, a raiz quadrada de 10 é considerada um “bom valor” para Aryabhata e Brahmagupta. O matemático árabe Al Kashi, já no século 15, chega no valor para 2 = 6,2831853071795865 (já em decimais!). Enquanto isso na Europa, matemáticos chegam a representações de  por séries infinitas. Dentre eles podemos citar: Viète (1540-1603), Wallis (1616-1703), Gregory (1638-1675), Leibniz (1646-1716), entre outros. Este tour de force computacional prossegue até recentemente, onde David Bailey, Peter Borwein e Simon Plouffe contabilizaram 10 bilhões de casas decimais para . A letra grega , que originalmente representava 80 unidades, passou a ser mais freqüentemente associada à relação do perímetro de um círculo com o seu diâmetro graças a Euler (1707-1783).

Referencial Teórico: Embora as atividades tenham sido extraídas de obras que não fazem menção a nenhum dos teóricos aqui mencionados, estes foram relevantes na escolha das atividades, bem como em seu encadeamento lógico9. Baseando-se em Piaget e Garcia10, as atividades foram organizadas de forma a favorecer o surgimento do conhecimento através das interações entre o sujeito e o objeto, de forma que o aluno coordene suas próprias ações, construindo suas próprias formas de organizar os objetos do conhecimento que, mesmo incipientes nos níveis elementares, irão constituir, no decorrer do desenvolvimento cognitivo, as estruturas lógicas que levarão à lógica formal e às estruturas matemáticas. A escolha da atividade inicial buscou um trabalho intelectual do aluno na direção da investigação11, bem como fornecer elementos estruturantes no processo de assimilação12. A atividade seguinte remete ao conceito de esquema13, onde o aluno depara-se em uma situação nova na qual esquemas são evocados, além de contribuir, como interação dialética de relativização, no encadeamento lógico do desenvolvimento do conhecimento. Na seqüência desta atividade leva-se o aluno, após construir valores, a compará-los, procurando aplicar em adultos o que Nunes e Bryant14 concluíram com crianças sobre contagem. Estes analisaram que crianças capazes de contar bem, não comparavam quantidades usando esta contagem. A atividade final, extraída de uma publicação, ou seja, do universo de significações de uma cultura, busca, com uma linguagem adequada ao meio social na qual o aluno está inserido, aproximar o conhecimento prévio do aluno e os conceitos adquiridos, de situações reais. Tenta-se, assim, trabalhar entre o nível de desenvolvimento real e o potencial do sujeito, ou seja, na zona de desenvolvimento proximal15.

Parâmetros para o Ensino Médio16: De acordo com os PCN’s (Parâmetros Curriculares Nacionais), além de ter um valor formativo e cumprir um papel instrumental, a Matemática no EM (Ensino Médio) deve ter um sentido mais amplo quanto às capacidades de abstração, resolução de problemas, investigação, apropriação de fatos matemáticos e interpretação do real. Assim as atividades propostas não se justificam apenas pelo caráter investigativo, mas representam também sugestões que possam contribuir para a prática de ensino. Embora as primeiras atividades tenham sido retiradas de uma obra amparada no parecer número 853 de 1971 do Conselho Federal de Educação, nota-se claramente sua sintonia com os atuais PCN’s17. Já a situação-problema escolhida, mesmo tendo sido encontrada em um periódico “aparentemente” sem nenhum compromisso com o ensino matemático, possui um profissional da área como consultor18, e recomenda obras conhecidas e pertinentes19 não apenas com o referencial teórico já mencionado, mas também com os PCN’s e as origens deste trabalho20.

Sujeitos da Pesquisa: 60 alunos da 1a série do Ensino Médio (Supletivo). As atividades foram desenvolvidas em duplas ou individualmente.

Material Utilizado: Réguas graduadas, cordões ou barbantes inelásticos, objetos cilíndricos de diâmetros diversos, e calculadoras.

Procedimento: Atividade 1:

Os alunos recebem barbante e régua. Cada dupla dispõe de cinco objetos cilíndricos, na qual devem ser levantadas as medidas do comprimento (perímetro) e diâmetro da base, anotando-os em uma tabela. Quando a dupla faz uma medida muito imprecisa ou confunde comprimento, diâmetro e altura do cilindro, há intervenção do professor, que solicita o recomeço da atividade. No final a dupla é estimulada a analisar os valores obtidos na razão entre as medidas do comprimento e do diâmetro. Só após o término da Atividade 1 que cada dupla recebe a Atividade 2.

Atividade 2:

Nesta atividade o aluno verifica os erros e acertos ocorridos na atividade anterior, ao ser apresentado ao valor de  com 9 casas de precisão e, com o auxílio da calculadora, obtém o valor de comprimento de um círculo a partir dos diâmetros anteriormente obtidos. Aplica-se, assim, a operação inversa à atividade anterior. Em seguida, a dupla vai comparar o diâmetro do círculo com os lados de dois quadrados, inscrito e circunscrito; e a área entre estas figuras. Novamente o aluno é levado a comparar os dados obtidos.

Atividade 3:

Neste problema de uma situação bem conhecida dos alunos, estes são convidados a comparar medidas para obter a solução do problema.

Uma pizza média, com 24 centímetros de diâmetro, custa R$ 9,98 na pizzaria do Mário. Mas ele garante que é vantagem levar a pizza família, que tem 32 centímetros de diâmetro, está em promoção e custa R$ 20,20. Existe mesmo vantagem ? Se existe, qual é o desconto porcentual ?

Objetivos e Expectativas: Atividade 1:

Além de simplesmente levar o aluno a determinar experimentalmente o valor de PI, mesmo para objetos cilíndricos de dimensões diferentes, pretende-se analisar as principais dificuldades deste, na medição com régua, de objetos não-retos. Espera-se que os alunos obtenham valores de PI próximos entre si e entre 3 e 3,5, levando-o a perceber a persistência de um determinado resultado nas relações métricas entre diferentes diâmetros e comprimentos da circunferência.

Atividade 2:

Inicialmente a atividade permite que o aluno avalie suas medições e compare seu desempenho, avançando a partir do erro. Na seqüência, espera-se que maiores dificuldades não ocorram, além da operacionalização da calculadora. Por fim, a partir de resultados construídos pelo próprio aluno, deseja-se que, apesar da ocorrência de erros toleráveis, este faça inferências transitivas importantes, levando-o a resultados conclusivos.

Atividade 3:

Existe mais de uma forma de resolver o problema, a qual o número de  pode ou não ser usado. Devido à seqüência de atividades que o aluno percorre até aqui, naturalmente espera-se que este opte pela solução que utiliza o número . Importante destacar que este problema leva o aluno a deduzir, pelo enunciado, que há realmente uma promoção, sendo o desafio apenas descobrir qual o tamanho desta promoção, ou, em outras palavras, dimensionar o percentual de desconto. Embora o autor também assim almejasse21, um erro, talvez de impressão, faz com que não haja promoção alguma, pois, proporcionalmente à área, o preço promocional é mais caro que o preço normal. Este fato veio a contribuir com o que se tinha como desejável, já que, em uma situação real e cotidiana, se o consumidor e cidadão consciente não estiver atento, apropriando-se corretamente dos conhecimentos adquiridos, pode facilmente ser ludibriado por vendedores inescrupulosos.

Análise: Dentre as análises feitas, destaca-se o número  obtido experimentalmente e as resoluções para o problema proposto na atividade final.

Número  obtido (Atividade 1):

Na primeira classe (1o TF) obteve-se 75 resultados, e na segunda classe de alunos pesquisados (1o TG), 95 resultados, totalizando 170 valores para o número de , na qual:



Valores desconsiderados

1o TF

1o TG

Erros posicionais22

6

8

Erros instrumentais

6

5

Falta de precisão

10

15

Assim foram considerados 120 dados válidos, gerando os seguintes gráficos:

Gráfico 1. Valores de PI obtidos experimentalmente em relação a sua defasagem ao valor exato.



No Gráfico 1 são comparados os resultados experimentais com o valor teórico de . Na média aritmética simples, obteve-se o valor de 3,20941, 2,16% acima do .



Gráfico 2. Freqüência de valores de PI obtidos experimentalmente.

No Gráfico 2 verificamos a maior e menor incidência de valores. A mediana encontrada (3,24138) é 3,18% maior que o valor real.

Resolução do Problema Proposto (Atividade 3):

Dois aspectos desta atividade foram analisados: a resolução algébrica e a conclusão a partir dos resultados obtidos.

Gráfico 3. Resolveu satisfatoriamente calculando as áreas e comparando proporcionalmente com os preços ?

Gráfico 4. Qual a conclusão chegada sobre a promoção ?



Comparando-se os gráficos, nota-se que 74% chegaram à resolução matemática esperada23 , entretanto 58% concluíram que adquirir a pizza família “em promoção” é desvantajoso. Com isso fez-se necessária uma análise entre o grupo que resolveu algebricamente o problema, sem, entretanto obter a mesma conclusão.



Gráfico 5. Qual a conclusão chegada sobre a promoção, dentre os que chegaram à resolução algébrica esperada ?

Com este último gráfico, percebe-se claramente que, embora sejam capazes de realizar os cálculos necessários para obter respostas conclusivas, apenas 64% dos alunos realmente chegam à conclusão desejada.

Conclusão: Não é possível avaliar apenas com os resultados obtidos, o desenvolvimento cognitivo alcançado, ou se este desenvolvimento atingiu estruturas matemáticas desejáveis, mas resultados positivos alcançados são indícios do processo de assimilação. Devido ao encadeamento lógico das atividades, pode-se concluir que esquemas foram evocados e que ocorreram interações dialéticas pertinentes foram alcançadas. Verifica-se que situações descritas por Nunes e Bryant24 sobre contagem, guardadas as proporções, também ocorreram com adultos que, calculando corretamente o problema proposto, não conseguem comparar estas quantidades obtidas. Como a maioria dos resultados obtidos foi positiva, mesmo com uma situação-problema que induzisse ao erro, nota-se que um conhecimento prévio do adulto, adquirido através da sua vivência como consumidor e cidadão fez-se presente. O uso de uma situação-problema familiar ao aluno funcionou como motivador, na busca de sua solução, dando sentido a aprendizagem e combatendo, assim, o fracasso escolar25. A transposição de um obstáculo, representado pela elucidação de uma situação real, representa um nível alcançado no desenvolvimento cognitivo do aluno·, percebido por este. Já fazendo uma análise do que permite que seja aperfeiçoado, também fruto dos resultados obtidos, permitiu-se pouco ao aluno na conquista das resoluções convencionais, não libertando o aluno do apego a regras, fórmulas e crenças presentes nas aulas de matemáticas, tidas como tradicionais26. Enfim, deve-se dar oportunidades maiores para que o aluno, na resolução de problemas que estejam adequadamente situados em sua zona de desenvolvimento proximal, possa, principalmente no caso do adulto, construir suas próprias estruturas matemáticas, e favoreça interações na sala de aula, fundamental para uma proposta de educação para a diversidade27.

Bibliografia:

BOLT, Brian. Mais actividades matemáticas. Lisboa: Gadiva, 1992.

__________, A caixa de pandora da matemática. Lisboa: Gadiva, 2001.

BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.

DINIZ, Maria Ignez. SMOLE, Kátia Stocco (Orgs.). Ler, escrever e resolver problemas: Habilidades básicas para aprender matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001.

GARCIA, Rolando. O conhecimento em construção. Porto Alegre: Artmed, 2002.

HERNÁNDEZ, Fernando. VENTURA, Montserrat. A organização do currículo por projetos de trabalho: O conhecimento é um caleidoscópio. 5a Ed. Porto Alegre: Artmed, 1998.



Machado, Silvia Dias Alcântara ... et al. Educação Matemática: uma introdução. São Paulo: EDUC, 1999.

MEIRIEU, Philippe. Aprender...sim, mas como ? 7a ed. Porto Alegre: Artmed, 1998.

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO, Secretaria da Educação Média e Tecnológica, Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Brasília: Imprensa Nacional, 1999.

NUNES, Terezinha. BRYANT, Peter. Crianças fazendo matemática. Porto Alegre: Artmed, 1997.

PERRENOUD, Philippe. Pedagogia Diferenciada: das intenções à ação. Porto Alegre: Artmed, 2000.

SALOMON, Délcio V. Como fazer uma monografia. São Paulo: Martins Fontes, 2000.

SEVERINO, Antonio J. Metodologia do trabalho científico. 21a ed. São Paulo: Cortez, 2000.

Superlegal 2. São Paulo. Superinteressante. Ed. Abril: Julho 2003. passatempo 14, págs. 18 e 65.

ZARO, Milton. HILLEBRAND, Vicente. Matemática experimental. 2a Ed. São Paulo: Ática. 1992. prática 13. págs 42-44.



1 Rolando GARCIA, O conhecimento em construção. Porto Alegre, Artmed, 2002.

2 Terezinha NUNES, Peter BRYANT, Crianças fazendo matemática. Porto Alegre, Artmed, 1997.

3 Milton ZARO, Vicente HILLEBRAND, Matemática experimental: prática 13 (pág. 42), e prática 25 (pág. 86). 2a ed. São Paulo, Ática, 1992.

4 SUPERINTERESSANTE apresenta: Superlegal2. São Paulo, Abril, julho de 2003. Não-periódico.

5 Papiro de 0,30 m de altura e 5 m de comprimento, comprado em 1858 pelo escocês Henry Rhind (por isso também conhecido também como Papiro Rhind), mas que antes, por volta de 1650 a.C., foi copiado pelo escriba Ahmes de um protótipo do Reino do Meio de cerca de 2000 a 1800 a.C.

6 No problema 50 do papiro, Ahmes assume a área de um campo circular de diâmetro 9 à área de um quadrado de lado 8.

7 Conclusão a partir da razão entre o perímetro do hexágono regular e a circunferência do círculo circunscrito, constante em uma das tabletas desenterradas em Susa (300 km da cidade da Babilônia, no Iraque) em 1936.

8 Faz-se importante destacar que Arquimedes não trabalha ainda com números decimais (bem como os demais matemáticos gregos, chineses e hindus), mas com formas sexagesimais e relações métricas.

9 Faz-se necessário mencionar que, ao determinarmos um determinado conteúdo do conhecimento, não o modificamos suficientemente a ponto de transformá-lo de objeto de saber a ensinar em objeto de ensino, entretanto noções de transposição didática de Chevallard permeiam este trabalho.

10 Rolando GARCIA, 2002. página 49.

11 Luiz Carlos PAIS, Transposição didática in: Silvia Dias Alcântara Machado ... et al, Educação Matemática: uma introdução. São Paulo, EDUC, 1999.

12 Teoria da equilibração (Piaget).

13 Teoria dos Campos Conceituais (Vergnaud).

14 Terezinha NUNES, Peter BRYANT, 1997. Capítulo 2.

15 Lev S. VYGOTSKY, Pensamento e linguagem. São Paulo, Martins Fontes, 1988.

16 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO, Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio, 1999.

17 Milton ZARO, Vicente HILLEBRAND, 1992. Apresentação (pág. 7) e Introdução (pág. 9).

18 O Professor Edmilson Motta é coordenador de Matemática do cursinho Etapa e organizador da Olimpíada Brasileira de Matemática.

19 Brian BOLT, Mais actividades matemáticas. Lisboa, Gadiva, 1992. Brian BOLT, A caixa de pandora da matemática. Lisboa, Gadiva, 2001.

20 Este trabalho foi proposto na disciplina Desenvolvimento Curricular em Matemática do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática – PUCSP, ministrada pela Profa. Dra. Célia Maria Carolino Pires. A versão portuguesa das publicações de Brian Bolt foi o referencial inicial.

21 Na resolução do problema, o autor refere-se a 10 cm como sendo o raio da pizza média, e não 12 cm (diâmetro da pizza média é anunciado no problema com 24cm). Desta maneira a vantagem promocional transforma-se em embuste, muitas vezes, infelizmente, presente no cotidiano brasileiro.

22 Considerou-se: erros posicionais, os decorrentes da ausência ou má posição da vírgula; erros instrumentais, os gerados por falhas no uso da régua ou da calculadora; e falta de precisão, os resultados com mais de 10% do valor teórico.

23 Não houve registro de resolução que compararam diâmetros ao quadrado, ou raios ao quadrado, ou eliminando (cortando) o PI, já que sua presença é inócua; com os preços.

24 Terezinha NUNES, Peter BRYANT, 1997. Capítulo 2.

25 Philippe PERRENOUD, Pedagogia diferenciada – das intenções à ação. Porto Alegre, Artmed, 2000. Capítulo 3.

26 Claudia T. Cavalcanti, Diferentes formas de resolver problemas in Maria Ignez DINIZ, Kátia Stocco SMOLE (Organizadoras), Ler, escrever e resolver problemas: Habilidades básicas para aprender matemática. Porto Alegre, Artmed, 2001.

27 Fernando HERNANDÉZ, Montserrat VENTURA, A organização do currículo para projetos de trabalho: o conhecimento é um caleidoscópio. 5a ed. Porto Alegre, Artmed, 1998. pg 34.

CRISTIANO OTHON DE AMORIM COSTA




©livred.info 2017
enviar mensagem

    Página principal