Conceito de Perpendicularidade



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O Conceito de ÂNGULO:

experiências e reflexões sobre o conhecimento matemático

de (futuros) professores do 1.º ciclo

Alexandra Gomes


CIFPEC/LIBEC

Instituto de Estudos da Criança – Universidade do Minho



magomes@iec.uminho.pt
Elfrida Ralha

Centro de Matemática

Dep.to de Matemática – Universidade do Minho

eralha@math.uminho.pt
Resumo:
Os conceitos matemáticos desempenham um papel crucial na construção do conhecimento, constituindo um dos alicerces do edifício matemático. Historicamente os conceitos matemáticos não surgem espontaneamente sendo o seu significado várias vezes alterado e refinado. Também não são, regra geral, fruto de um único contributo individual já que os simples actos de criação de notações, de terminologia ou de símbolos pressupõe um acordo entre os “utilizadores” desses conceitos. No entanto, uma vez criados, os conceitos matemáticos adquirem-se: ensinam-se e aprendem-se.

No presente artigo, reconstruímos teorias relativas aos conceitos matemáticos, em particular aos conceitos geométricos e explorámos o papel desempenhado quer pelas definições dos conceitos quer pelas suas representações.

Tomando como objecto exemplificativo de estudo o conceito de ângulo, questionámos 216 professores e futuros professores do 1º ciclo e analisámos as respostas apresentadas a duas questões (parte de um questionário) relacionadas com o conhecimento matemático envolvido nesse conceito.

Terminamos com algumas reflexões onde, a propósito dos resultados obtidos no estudo, questionamos, por um lado, o significado que esses profissionais extraíram da formação que receberam no decorrer dos seus percursos (académicos e experiências profissionais), sobre determinados conceitos matemáticos, vulgarmente denominados de “elementares”; por outro lado, questionamos ainda o grau de materacia efectiva destes professores e (futuros) professores, salientando a nossa preocupação/inquietação relativamente ao rigor do ensino da Matemática tal qual será conduzido por estes profissionais.


Palavras-chave: conceitos matemáticos; conceitos geométricos; definição do conceito; representação do conceito; imagem do conceito; professores do 1.º ciclo.
Abstract
Mathematical concepts perform a crucial role in the construction of mathematics, being the basis of the mathematical building. Historically, mathematical concepts are not spontaneous and their meaning is altered and refined several times. They aren’t also produced by a single person since the process of creating notations, terms or symbols involves the agreement between the, so called, “users” of such concepts. Nevertheless, once formed, mathematical concepts are acquirable: they are taught and learned.

In this article, we rebuild theories related to mathematical concepts, especially geometrical ones and explore the role performed both by the definitions of the concepts and by their representations.

Considering the concept of angle as our object of study, we analyse the answers given by 216 (future) primary school teachers to two questions (part of a larger questionnaire) concerning the mathematical knowledge involved within that concept.

We shall end with some reflections where, based on the results of the study, we question, on the one hand, the meaning that these professionals got from the explanations they were given about “elementary” math concepts during their training and experience and, on the other hand, we question the degree of effective literacy of these (future) teachers, highlighting our concern related to the rigour of their teaching.


Key words: mathematical concepts; geometrical concepts; concept definition; concept representation; concept image; primary school teachers.


1. Introdução
No percurso de construção do conhecimento matemático, os processos de definir e validar são, inquestionavelmente, peças básicas/estruturais do edifício matemático. Por outro lado, os conceitos matemáticos desempenham um papel crucial na construção desse conhecimento que, por sua vez, se adquire através de processos de indução, dedução e analogia.

De um ponto de vista da evolução, os conceitos matemáticos desenvolvem-se como objectos cognitivos e teórico-sociais, em confrontação directa com o ambiente social e material mas, ao contrário de outros conceitos construídos pelo Homem, os conceitos matemáticos não são, regra geral, passíveis de serem deduzidos a partir da sua forma ou do seu material. O significado dos conceitos matemáticos tem assim que ser construído pelo indivíduo em interacção com contextos baseados na experiência ou em referências abstractas. As definições são, neste sentido, centrais na descrição e na análise do ensino da Matemática e, por outro lado, a representação é um meio de ligação fundamental na codificação e na compreensão dos conceitos matemáticos.

Neste artigo propomo-nos tratar a noção de conceito matemático, dando especial relevo à sua classificação e à sua génese e detalhar o caso especial dos conceitos geométricos. Além disso, discutimos o papel desempenhado pelas definições, enquanto componentes fundamentais da actividade matemática, bem como as formas, gráficas e linguísticas, de representação dos conceitos.

Apresentamos ainda alguns resultados de um estudo mais alargado que envolveu estudantes universitários e futuros professores do 1.º ciclo do Ensino Básico assim como professores com mais e menos experiência profissional neste nível de ensino, tendo em vista identificar as suas concepções relativas ao conceito de ângulo.


2. Os conceitos matemáticos
Falar de conceitos e de aprendizagem de conceitos não é uma tarefa simples, mesmo quando os conceitos são apelidados de “elementares”. Quando se tenta, em particular, esclarecer o significado do termo conceito várias são as definições dadas e nem todas são concordantes (Menchinskaya, 1969; Ausubel, Novak e Hanesian, 1980; Sowder, 1980; Piéron, citado em Fischbein, 1996).

Skemp (1971) assume que apesar do termo conceito ser largamente utilizado, não é fácil de definir nem uma definição directa é a melhor forma de entender o seu significado.

Na opinião de Fischbein (1993), o que caracteriza um conceito é o facto dele expressar uma ideia, uma representação ideal, geral de uma classe de objectos, baseada nas características comuns.

Por outro lado, é frequente verem-se os conceitos agrupados em categorias distintas. Uma das categorizações mais conhecidas divide os conceitos em concretos e abstractos: enquanto que os conceitos concretos se associam a exemplos físicos reais (mesa, cadeira, lápis), os conceitos abstractos, por oposição, não estão associados à realidade externa. Os conceitos matemáticos cabem sempre nesta última categoria, isto é, são conceitos abstractos.

No entanto, numa tradição que remonta à Grécia antiga, os conceitos matemáticos são muitas vezes descritos à custa de comparações/identificações com o “real”. É bem conhecida a expressão “a line is breadthless length” (Euclides1, Livro I, Definição 2) que surge frequentemente acompanhada por explicações tiradas da realidade.

O hábito de explicar em termos reais o que é indefinível introduz na Matemática um estilo semelhante ao das Ciências Naturais e pode induzir a ideia de se estar a tratar de conceitos empíricos. No entanto, na Matemática, contrariamente às ciências empíricas em que os conceitos tendem a aproximar uma dada realidade existente, os conceitos são totalmente “controlados” pela sua definição. O enriquecimento dos conceitos matemáticos relativamente à coerência, à clareza e ao rigor, bem como a criação de novos conceitos acontece, não em confrontação com a realidade mas analisando, melhorando e enriquecendo as suas fundações formais (Fischbein, 1996). Ainda que na Matemática, tal como nas ciências empíricas, se use a observação, a experimentação, a indução, as comparações e as generalizações, os objectos da investigação matemática são puramente mentais. As suas demonstrações são sempre de natureza lógica e nunca empírica (Fischbein, 1993).


2.1 Sobre a formação dos conceitos
Quando se faz investigação em ensino/aprendizagem de conceitos, mais importante do que saber o que significa conceito, ou como se define conceito, interessa porventura saber como se formam os conceitos.

Tall e Vinner (1981) utilizaram os termos “concept definition” e “concept image” 2 para distinguir respectivamente entre o significado de um conceito tal como é estabelecido pela comunidade científica e a interpretação subjectiva que o indivíduo tem do seu significado.

Os autores definem “imagem do conceito” como a estrutura cognitiva que está associada ao conceito e que inclui todas as figuras mentais bem como todas as propriedades e os processos que lhe estão associados. A imagem do conceito vai sendo construída e modificada pelo indivíduo ao longo dos anos através das suas experiências e maturação. Na opinião de Vinner (1997), a imagem do conceito surge na mente do indivíduo de modo intuitivo e como reacção ao nome do conceito. Essa intuição é imediata, espontânea e não utiliza processos analíticos sendo por isso, em muitos casos, enganosa.

Quanto à “definição do conceito” Tall e Vinner (ibidem) consideram ser um conjunto de palavras usadas para especificar o conceito. Ainda que a definição de um conceito possa ser fornecida ao indivíduo, ela pode também ser uma (re)construção pessoal. Ao expressar-se por palavras, a explicação da imagem do conceito evocada, constrói-se desta forma uma definição pessoal do conceito. Esta definição pessoal pode diferir, e em muitos casos difere, da definição formal que é aceite pela comunidade científica.

Tall (1991) conclui que:

Our cognitive studies have shown the manifold differences between the formal definitions of concepts and the images we use in our minds to work with these concepts” (p. 252).


Assim, não é de estranhar que indivíduos diferentes tenham por vezes diferentes entendimentos de um mesmo conceito.

O modelo exposto enfatiza o facto de que as experiências dos aprendizes e os exemplos de um conceito encontrados em contextos variados, incluindo a escola, desempenham um importante papel na formação da imagem do conceito. Muitas vezes os alunos são apenas confrontados com alguns (poucos) exemplos dos conceitos o que pode levar à construção de imagens incompletas e/ou incorrectas.


2.2 O caso particular dos conceitos geométricos
Os conceitos matemáticos são, como anteriormente referimos, construtos puramente mentais, isto é, os objectos aos quais a Matemática se refere – basicamente números e formas – não têm propriedades materiais. Um ponto, uma linha, uma superfície não existem, como tal, na realidade. Um cilindro ou uma esfera não têm propriedades materiais como peso, massa, densidade ou cor (Fischbein, 1996).

Os conceitos geométricos constituem no entanto uma situação especial. Fischbein (1993) identifica algumas propriedades que caracterizam as figuras geométricas e que estão relacionadas com a sua natureza conceptual:



  1. Os objectos materiais – sólidos ou desenhos – são apenas modelos materializados das entidades mentais com as quais os matemáticos lidam.

  2. A perfeição absoluta das entidades geométricas só pode ser entendida no sentido conceptual.

  3. As entidades geométricas são apenas construções mentais e não têm uma genuína correspondência material.

  4. Todas as construções mentais são representações gerais, como cada conceito, e não cópias mentais de objectos concretos particulares. Quando se desenha uma figura particular ela pode representar a forma de uma classe infinita de objectos.

  5. As propriedades das figuras são impostas por, ou derivadas de, definições no coração dentro de um dado sistema axiomático.

Pode assim dizer-se que, apesar das figuras geométricas possuírem qualidades conceptuais, elas reflectem também, na sua estrutura intrínseca, propriedades espaciais como forma, tamanho, posição. As figuras geométricas são entidades conceptuais sem deixarem de ser espaciais. Devido a esta natureza dual – figural e conceptual – Fischbein apelida as figuras geométricas de “figural concepts” 3.

O “conceito figurativo” é uma realidade mental, é o resultado do raciocínio matemático no domínio especificamente da Geometria.

Geralmente, o que sucede é que figuras e conceitos são considerados como diferentes categorias de entes mentais. Mas o que Fischbein (ibidem) assume é que no caso especial do raciocínio geométrico se lida com objectos mentais que possuem simultaneamente propriedades conceptuais e figurativas.

Esta fusão entre conceito e figura expressa um ideal, uma situação extrema, que normalmente não é atingida por causa de restrições psicológicas, nomeadamente: enquanto que a componente figurativa está geralmente influenciada por forças Gestalt, a componente conceptual está condicionada por falácias lógicas. O progresso no raciocínio geométrico acontece através da mudança das relações entre as componentes figurativas e conceptuais. Inicialmente as restrições Gestalt/figurativas são dominantes mas aos poucos o papel das restrições formais vai-se tornando mais importante. Com a idade e por efeito da instrução, a relação entre as componentes figurativa e conceptual tende para a formação do conceito. Note-se contudo que a componente figurativa nunca desaparece do raciocínio geométrico.

Uma ideia semelhante foi expressa por Tall e Vinner (1981), como já foi visto, na sua distinção entre “imagem do conceito” e “definição do conceito”. Em Geometria o conceito figurativo ideal corresponde à definição do conceito enquanto que o seu reflexo mental com todas as conotações e ambiguidades corresponde à imagem do conceito (Fischbein, 1993).


3. As definições
Mariotti e Fischbein (1997) consideram que definir é uma componente básica do conhecimento geométrico e aprender a definir é um problema básico da educação matemática.

Já Poincaré se interrogava (1927, p. 123):

“(Qu’est-ce qu’une bonne définition? Pour le philosophe, ou pour le savant, c’est une définition qui s’applique à tous les objets définis et ne s’applique qu’à eux ; c’est celle qui satisfait aux règles de la logique. Mais dans l’enseignement, ce n’est pas cela) ; une bonne définition, c’est celle qui est comprise par les élèves.”.
Parece pois conveniente distinguir duas facetas da definição: a definição como componente fundamental da actividade matemática e a definição como parte do processo educativo. Neste trabalho iremos debruçar-nos apenas sobre a primeira faceta da definição.
3.1 O papel da definição na actividade matemática
Parece consensual o entendimento de que a definição desempenha um papel fundamental na actividade matemática.

De facto, entendendo a Matemática enquanto teoria dedutiva, ela começa exactamente com termos primitivos e axiomas e é a partir dos termos primitivos que todos os outros conceitos (noções) são definidos. Os teoremas são demonstrados a partir dos axiomas usando certas regras de inferência.

É normalmente através das definições que os objectos de uma teoria são introduzidos: as definições exprimem as propriedades que caracterizam esses objectos e integram-nos na rede de relações já existente; novas propriedades dos objectos definidos e novas relações entre eles e os objectos da teoria podem ser estabelecidos através do processo de dedução. Mas a sistematização teórica é apenas a fase final de um longo processo produtivo no qual as definições resultam de negociações entre o rigor lógico e a criatividade (Mariotti e Fischbein, 1997).

Winicki e Leikin (2000) enumeram alguns princípios lógicos, também referenciados por outros matemáticos, que devem ser considerados quando se define um conceito, nomeadamente



  • Definir é dar um nome.

  • Para definir um conceito novo só se podem usar conceitos previamente definidos (ou termos primitivos).

  • Uma definição estabelece condições necessárias e suficientes para o conceito.

Cada conceito possui uma série de propriedades que constituem as condições necessárias desse conceito. Ao mesmo tempo há um conjunto de proposições que constituem condições suficientes, isto é, que diferenciam o conceito.

  • O conjunto de condições de uma definição deve ser minimal.

Uma definição não deve conter informação supérflua, isto é, não deve conter partes que se possam deduzir das outras partes da definição.

  • As definições são arbitrárias.

É possível estabelecer uma relação de equivalência entre as condições relacionadas com um dado conceito dando assim origem a uma classe de equivalência de definições. Ora cada uma dessas definições pode ser tomada arbitrariamente como a definição do conceito.

4. As representações
Representar é uma forma importante de comunicar ideias matemáticas. (…) Representar envolve traduzir um problema ou uma ideia numa nova forma. (…) Representar inclui, também, a tradução dum diagrama ou dum modelo físico em símbolos ou palavras.” (NCTM, 1991, p. 34)
Segundo o Relatório Cockcroft (1982) “a Matemática proporciona um meio de comunicação poderoso, conciso e carente de ambiguidade... que justifica a principal razão de ensinar Matemática a todos”.

Ao servir de meio de comunicação e de estruturação do pensamento a Matemática pode, segundo Pimm (1987), ser vista como uma linguagem especial, uma metáfora.

Ora o ensino/aprendizagem dos conceitos matemáticos passa também pela utilização de uma linguagem específica entre as pessoas no sentido de clarificar o significado e a compreensão desses mesmos conceitos; a utilização da linguagem matemática dita simbólica permite, nomeadamente ao nível da álgebra, uma uniformização de comunicação que não se verifica nas línguas ditas maternas. No caso dos conceitos geométricos, que como foi referido, possuem uma natureza dual – figurativa e conceptual, recorre-se geralmente representações4.
4.1 Representações gráficas
Sempre que se representa uma figura geométrica há perda de informação. Por um lado, numa representação não é possível mostrar todas as características da figura. Muitas das propriedades têm assim que ser reconstituídas. Essa reconstituição de significados faz-se graças à partilha da mesma cultura geométrica que se baseia muito no uso de arquétipos.

Por outro lado, certas figuras geométricas não são representáveis por serem, por exemplo, ilimitadas. Contudo, na prática convenciona-se usar uma parte limitada do todo o que por vezes pode causar ambiguidades.

Vladiminskii, citado em Clements e Battista (1992), concluiu que os estudantes podem confundir características do diagrama com características essenciais da figura, introduzindo desse modo ideias irrelevantes no conceito. Também Parzysz (1988) refere que os estudantes, na interpretação de diagramas, muitas vezes atribuem características do diagrama à figura geométrica que ele representa. Além disso, os estudantes não têm consciência de que os diagramas não representam toda a informação acerca do objecto representado e tentam desenhar diagramas que preservem quer a perspectiva quer o conhecimento que eles têm do objecto a ser representado, isto é, tentam preservar não só o que vêem mas também o que sabem.

Bishop (1987) refere que um dos problemas da Geometria é a impossibilidade de desenhar um diagrama generalizado: não é possível, por exemplo, desenhar um “triângulo qualquer” do mesmo modo que se representa um “número qualquer” pelo símbolo “x”. Também Pimm (1995) diz que:

Mathematicians use one diagram of a triangle on occasions to represent all triangles. This is reminiscent in algebra of the use of letters for any number, though one important difference is that a letter is not any particular number, whereas the drawn triangle used to represent all triangles can itself also be seen as a particular triangle.” (p. 58)
Apesar de não existir um diagrama generalizado para uma dada forma, há no entanto uma tendência generalizada para confiar em certos protótipos dos conceitos geométricos.
4.2 Representações linguísticas
A utilização da terminologia para representar noções geométricas também faz com que os problemas da linguagem matemática estejam presentes. Um dos problemas mais significativos relacionados com a terminologia em Matemática é o facto de que o significado de certas expressões em contexto matemático muitas vezes difere do significado em contextos do dia a dia. Por exemplo, o termo “diagonal” apresenta, como facilmente se constatará, significados distintos em linguagem corrente e terminologia matemática.

A maior parte das aulas de Matemática decorrem, segundo Pimm (1987), numa mistura de registos de linguagem matemática e corrente sendo que a falha em distinguir estes dois registos pode resultar em erros de incongruência e falhas de comunicação. Também Sierpinska (1994, p. 20) menciona:

Ordinary words mean something different in mathematics. Yet, especially in the elementary school, they are used inadvertently by teachers as if there was nothing to explain. Children have to guess by themselves that a big number is not a number that is written with huge marks on paper, and a low number is not written on the bottom of the page. The horizontal and vertical refer not to directions in the surrounding space but to directions of the sheet of paper.”
Esta diferença de significados pode assim influenciar a compreensão matemática e causar frequentes confusões.
5. O estudo
O estudo que aqui se apresenta faz parte de uma investigação de carácter mais lato (Gomes, 2004) na qual se investigou o conhecimento matemático de professores do 1º ciclo em diversas fases de formação/profisionalização; nesse estudo alargado pudemos contar com a presença de 216 participantes divididos em dois grupos: 141 eram estudantes universitários, que frequentavam, em anos diversos, o curso de formação inicial de professores do 1.º ciclo e os restantes 75 eram já professores do 1.º ciclo inscritos em cursos de Complemento de Formação e com experiências profissionais diversificadas, quer ao nível da sua formação inicial, quer ao nível do tempo de profissionalização.

5.1 Metodologia

A investigação referida desenvolveu-se em diversas fases, com instrumentos de estudo diversificados e, no caso do presente artigo, recorreremos essencialmente a dados recolhidos em dois momentos sucessivos. No 1.º momento, usou-se como instrumento de recolha de dados o inquérito, através da elaboração de um questionário escrito. Este questionário foi elaborado de forma a possibilitar a identificação de possíveis dificuldades/obstáculos na formação de conceitos geométricos e também a avaliação da imagem que os indivíduos possuem de certos conceitos geométricos, fundamentalmente através de duas características: a definição do conceito e a sua representação. No presente artigo alargamos a reflexão teórica sobre a formação de conceitos matemáticos/geométricos e seleccionámos duas questões do questionário inicial, que se relacionam com o conceito de ângulo.

As respostas foram classificadas em duas categorias opostas (ideal e errada) de acordo com o seguinte critério: uma resposta é considerada “ideal” se corresponde a uma resposta que se espera que os indivíduos, como (futuros) professores devam “oficialmente” apresentar e uma resposta é considerada “errada” se não é desejável que os indivíduos a forneçam em circunstância alguma e porventura ainda menos como (futuros) profissionais de ensino de Matemática. Esta classificação permitiu ordenar os indivíduos de acordo com o grau de concordância com o tipo de respostas considerado. Assim, foram seleccionados 32 indivíduos considerados representativos da população inicial os quais foram entrevistados (2.º momento) por forma a complementar e aprofundar a informação obtida.
5.2 Um conceito estudado: ângulo
O conceito de ângulo, como praticamente todos os conceitos matemáticos, é multifacetado: é, em particular, possível encontrar várias definições de ângulo, não só ao longo de textos históricos como numa consulta a diversos manuais escolares actuais. Tal facto não sendo invulgar também não surge frequentemente reconhecido de forma explícita, isto é, tanto quanto nos foi dado perceber no estudo que conduzimos, mas também em conversas informais que fomos mantendo com muitos outros intervenientes no processo de ensino/aprendizagem da Matemática, o actor comum (professores e alunos) no ensino/aprendizagem de Matemática não parece estar acostumado à constatação de que um mesmo conceito matemático pode ter, em manuais escolares da actualidade, definições distintas (trata-se, como vimos anteriormente, da arbitrariedade das definições). Assim:


  1. Para Euclides (Livro I, Definição 8), “a plane angle is the inclination to one another of two lines in a plane which meet one another and do not lie in a straight line”.

  2. No séc. XVII, os tratados de Arnaud e Bertrand (citados em Castelnuovo, 1947) apresentam como definição de ângulo “parte do plano compreendida entre 2 semi-rectas com a mesma origem”.

  3. Para A. Sannia e E. d’Ovídio, referidos em Calado (1955), “o ângulo é uma rotação, operação que transforma uma semi-recta noutra semi-recta com a mesma origem”.

  4. Hilbert (1952) define ângulo como: “seja um plano qualquer e sejam h, k duas semi-rectas quaisquer, diferentes, no plano , que partem do ponto O e que pertencem a rectas distintas. Ao sistema destas semi-rectas h, k chamamos ângulo e representámo-lo por (h,k) ou por (k,h).”.

Ainda que todas estas definições possam ser, no âmbito da geometria dita elementar, consideradas, qualquer uma delas impõe limitações específicas ao conceito de ângulo. Por exemplo, a definição dada por Euclides não inclui os ângulos côncavos nem sequer o ângulo raso, enquanto que a definição de Hilbert também não inclui os ângulos côncavos. A definição de Arnaud e Bertrand coloca a questão de se saber que parte do plano considerar. Usando as palavras de Oliveira (1995):

Qual seria? a “maior” ou a “mais pequena”? a que está “dentro” ou a que está “fora”? e o que é que estes termos “maior”, “dentro”, etc. significariam, se alguma coisa.”
Importa aqui registar que, apesar de todas estas indefinições, a definição de Arnaud e Bertrand é a definição tradicionalmente encontrada nos manuais escolares de Matemática do 1.º ciclo actuais (apesar de não ser possível encontrar uma definição explícita em quase nenhum desses manuais).

Mas no caso de se optar por definir ângulo como rotação há também várias situações possíveis. Qual a rotação que se deve considerar? Em que sentido é feita? Porquê?

Além disso, cada uma das definições dadas corresponde, na opinião de Mitchelmore e White (2000), a diferentes contextos físicos de ângulo. Assim, a definição de ângulo como rotação modela o contexto de “virar/girar”, a definição de reunião de 2 semi-rectas modela o contexto de “intersecção” e a definição de região do plano modela o contexto de “canto”.

Claro que qualquer uma das definições pode ser aplicada a diferentes contextos pois qualquer uma caracteriza o conceito de ângulo. No entanto,

the fact that no one definition appears to match all physical angle contexts emphasises the difficulty of forming a general standard angle concept” (Mitchelmore e White, ibidem, p. 218).
Parece-nos por isso essencial que os professores estejam conscientes das diferentes definições do conceito de ângulo e suas limitações, ou que pelo menos compreendam com rigor e profundidade as propriedades decorrentes de uma determinada definição/imagem do conceito. Só dessa forma estarão aptos para, de acordo com exigências oficiais patentes nos Programas, proporcionarem aos seus alunos actividades significativas que desenvolvam o conceito de ângulo de forma não limitada.



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