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1ª/2016

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA


CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

ESTRUTURA CURRICULAR

DO PROGRAMA DE

PÓS-GRADUAÇÃO
EM
MATEMÁTICA PURA E APLICADA

MESTRADO

2016

Pós-graduação em matemática PURA E APLICADA
CURSOS DE MESTRADO EM MATEMÁTICA
O Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada da UFSC oferece cursos de pós-graduação stricto sensu. São oferecidos dois Cursos de Mestrado Acadêmico em Matemática.
OBJETIVO E DURAÇÃO DOS CURSOS

Curso de Mestrado
Com duração de dois anos, é recomendado para formados em cursos de matemática ou áreas afins, assim como para docentes de matemática do ensino superior de outras IES. O objetivo do Curso de Mestrado é dar formação e informação para aqueles que almejam cursar o doutorado, visando à pesquisa, ou a trabalhar no ensino superior na área de matemática ou em áreas afins.
Curso de Mestrado Básico
Com duração de dois anos, é especialmente recomendado para docentes de matemática do ensino superior de outras IES que trabalham com o ensino básico de matemática em cursos superiores de ciências exatas. O objetivo do Curso de Mestrado Básico é dar a qualificação necessária para formar um profissional do ensino superior e para cursar o doutoramento em matemática ou em áreas afins.

Os Cursos de Mestrado em Matemática levam o aluno à obtenção do título de:


Mestre em Matemática”
Tanto no Curso de Mestrado quanto no Curso de Mestrado Básico, o titulado receberá o título de Mestre em Matemática em uma das seguintes áreas de concentração:
Álgebra

Análise

Geometria e Topologia

Matemática Aplicada

ESTRUTURA DOS CURSOS DE MESTRADO em Matemática




Curso de Mestrado

I – Composição do Curso
O currículo do Curso de Mestrado é composto de:

a) Disciplinas regulares divididas em quatro grupos, listadas abaixo.

b) Disciplina “Estágio de Docência”, com 4 créditos, obrigatória para todos os alunos. O Estágio de Docência é constituído de atividades didáticas, supervisionadas por um professor (denominado de tutor), em que o aluno da Pós-Graduação ministra aulas em turmas regulares de graduação da nossa Universidade, em conformidade com a Resolução Complementar à Resolução Normativa n.º 05/CUn/2010.

c) Disciplina “Colóquio de Matemática” com 2 créditos. A disciplina consta de palestras proferidas por pesquisadores locais ou convidados e será oferecida sempre que possível.

d) Dissertação de mestrado, com 6 créditos.
II – Requisitos
Para o Mestrado em Matemática o aluno deve satisfazer os seguintes requisitos, além do previsto no Regimento Interno do Programa.
a) Obter aprovação em, 2 disciplinas obrigatórias, 1 eletiva do grupo 1, 1 eletiva do grupo 2, 1 eletiva do grupo 3 e 1 eletiva do grupo 4 e 1 eletiva escolhida entre os grupos 2, 3 ou 4.

b) A critério do Colegiado Delegado e por solicitação do aluno, este poderá ser dispensado de uma ou mais das disciplinas do item “a”. desde que tenha cursado disciplina compatível na graduação e obtido nota igual ou superior a 7,0 (sete).

c) Em qualquer hipótese o aluno deverá cursar e obter aprovação em, no mínimo, 6 (seis) disciplinas regulares do programa.

d) Obter aprovação no Estágio de Docência.

e) Cursar a disciplina Colóquio de Matemática em todos os semestres em que o aluno estiver matriculado se e a disciplina for oferecida.

f) Casos omissos serão resolvidos pelo Colegiado Delegado, em conformidade com suas atribuições.


III – Disciplinas Regulares

As disciplinas regulares são listadas na tabela abaixo, com as seguintes observações:

a) A disciplina obrigatória de Cálculo Avançado será oferecida no primeiro semestre letivo e a de Análise Funcional no segundo semestre letivo.

b) As disciplinas eletivas do Grupo 1 e do Grupo 2 serão oferecidas no primeiro semestre letivo e as disciplinas do Grupo 3 serão oferecidas no segundo semestre.

c) As disciplinas eletivas do grupo 4 poderão ser oferecidas no primeiro ou segundo semestre, conforme a necessidade.

d) O aluno deverá optar por uma área de concentração, o que deverá nortear a escolha das disciplinas eletivas, visando à área em que será elaborada a dissertação de mestrado.


Disciplinas do Curso de Mestrado


Categoria

Disciplinas Regulares (eletivas)

Créditos

Obrigatórias

MTM410018 Cálculo Avançado

MTM410029 Análise Funcional



06

06


Grupo 1

MTM410019 Álgebra Linear

MTM410024 Álgebra Linear Computacional



06

06


Grupo 2

MTM410034 Equações Diferenciais Ordinárias

MTM410020 Variável Complexa



06

06


Grupo 3

MTM410035 Equações Diferenciais Parciais

MTM410028 Análise Numérica I

MTM331200 Programação Linear

MTM410027 Medida e Integração

MTM330400 Estruturas Algébricas

MTM410026 Topologia

MTM331000 Geometria Diferencial

MTM410057 Sistemas Dinâmicos

MTM410056 Programação Não-Linear
MTM410071 Grupos Finitos e suas Representações

-- Métodos Matemáticos para Estatística


06

06

06



06

06

06



06

06

06


06

06

Grupo 4

MTM410039 Álgebras de Operadores

MTM410051 Variedades Diferenciáveis

MTM410052 Topologia Algébrica

MTM410053 Probabilidade e Processos Markovianos

MTM410055 Dinâmica Simbólica

MTM410064 Teoria Ergódica e de Informação

MTM410038 Teoria de Distribuições e Espaços de Sobolev

MTM410037 Análise Numérica II

MTM410036 Introdução às Álgebras de Hopf

MTM410030 Teoria de Aneis Não-Comutativos

MTM410048 Coaneis e Comódulos

MTM410040 Análise Convexa

Fibrados em Variedades Diferenciáveis

MTM410068 Álgebra Comutativa

MTM410066 Introdução à Teoria de Regularização

MTM410070 Introdução à Teoria de Categorias


-- Modelagem Matemática: Biomatemática
Tópicos Variados

06

06

06



06

06

06



06

06

06



06

06

06



06

06

06



06
06
06




Disciplinas Complementares

Créditos

MTM410025 Estágio de Docência

MTM410060 Colóquio de Matemática I

MTM410061 Colóquio de Matemática II

MTM410062 Colóquio de Matemática III

MTM410063 Colóquio de Matemática IV

MTM410047 Dissertação de Mestrado



04

02

02



02

02

06



Curso de Mestrado Básico

I – Composição do Curso
O currículo do Curso de Mestrado Básico é composto de:

a) Disciplinas regulares divididas em três grupos, listadas abaixo.

b) Disciplina “Estágio de Docência”, com 4 créditos, obrigatória para todos os alunos. O Estágio de Docência é constituído de atividades didáticas, supervisionadas por um professor (denominado de tutor), em que o aluno da Pós-Graduação ministra aulas em turmas regulares da nossa Universidade, em conformidade com a Resolução Complementar à Resolução Normativa n.º 05/CUn/2010.

c) Disciplina “Colóquio de Matemática” com 2 créditos. A disciplina consta de palestras proferidas por pesquisadores locais ou convidados e será oferecida sempre que possível.

d) Dissertação de mestrado, com 2 créditos.
II – Requisitos
Para o Mestrado Básico em Matemática o aluno deve satisfazer os seguintes requisitos, além do previsto no Regimento Interno do Programa.
a) Obter aprovação em no mínimo 8 disciplinas regulares.

b) Obter aprovação ou dispensa pelo Colegiado Delegado em, no mínimo, 4 disciplinas obrigatórias, 2 eletivas e 2 disciplinas de tópicos.

c) Obter aprovação no Estágio de Docência.

d) Cursar a disciplina Colóquio de Matemática em todos os semestres em que o aluno estiver matriculado e a disciplina for oferecida.


III – Disciplinas Regulares

As disciplinas regulares são listadas abaixo, com as seguintes observações:

a) O aluno deverá optar por uma área de concentração, o que norteará a escolha das disciplinas eletivas e das disciplinas de tópicos, visando à área em que será elaborada a dissertação de mestrado.

b) Durante o primeiro semestre, o aluno cursa as disciplinas de Análise A, Equações Diferenciais Ordinárias e Introdução a Álgebra Linear Computacional (obrigatórias).

c) Durante o segundo semestre, o aluno cursa a disciplina de Análise B (obrigatória) e opta por duas entre as disciplinas de Equações Diferenciais Parciais, Geometria Diferencial, Computação Científica, Programação Linear e Estruturas Algébricas.

d) Durante o terceiro semestre, o aluno cursa as disciplinas Estágio de Docência, Tópicos A e a disciplina Análise Funcional (obrigatória).

e) No quarto semestre, o aluno cursa a disciplina Tópicos B.

f) O aluno que comprovadamente possuir o conhecimento referente a alguma das disciplinas eletivas ou obrigatórias do Mestrado Básico, poderá solicitar ao Colegiado Delegado sua substituição por outra disciplina do programa.



g) As disciplinas de Tópicos A e B objetivam dar ao aluno a formação necessária na área em que será desenvolvido o trabalho de dissertação. Os Planos de Ensino das disciplinas de Tópicos A e B devem ser submetidos à aprovação do Colegiado Delegado. Existe a possibilidade de o aluno fazer as disciplinas de Tópicos em outro programa de Pós-Graduação, desde que seja respeitada a finalidade dessas disciplinas. Neste caso, é necessário que o aluno, com anuência de seu orientador, submeta à análise do Colegiado Delegado uma solicitação expondo os seus objetivos e os dados relativos às disciplinas (horas-aula, número de créditos, código e sistema de avaliação).

Disciplinas obrigatórias do Mestrado Básico




Pré-requisitos

Créditos

MTM 3301

Análise A




06

MTM 3302

Análise B

MTM 3301

06

MTM 410034

Equações Diferenciais Ordinárias




06

MTM 3305

Introdução a Álgebra Linear Computacional




06

MTM 410029

Análise Funcional

MTM 3302

06















Disciplinas eletivas I e II do Mestrado Básico




Pré-requisitos

Créditos













MTM 3304

Estruturas Algébricas




06

MTM 410035

Equações Diferenciais Parciais

MTM 3303

06

MTM 3308

Computação Científica




06

MTM 3310

Geometria Diferencial

MTM 3301

06

MTM 3312

Programação Linear




06



Disciplinas de Tópicos do Mestrado Básico







Créditos
















Tópicos A




06




Tópicos B




06


EMENTAS DAS DISCIPLINAS DE MESTRADO

CÁLCULO AVANÇADO

PRÉ-REQUISITO: x-x

Nº DE HORAS/AULA SEMANAIS: 06
EMENTA: Diferenciação em Rn, Campos Vetoriais, Formas Diferenciais e Teorema de Stokes.
Seção 1 - Diferenciação em Rn .

1.1 - Funções f : Rn ! R .

1.1.1 Derivadas Parciais.

1.1.2 Teorema de Schwarz.

1.1.3 Fórmula de Taylor.

1.1.4 Hessiana de uma função, análise dos pontos críticos.

1.2 - Funções Implícitas .

1.2.1 Teorema da Função Implícita.

1.2.2 Hipersuperfícies.

1.2.3 Multiplicadores de Lagrange.

1.3 - Aplicações Diferenciáveis f : Rm ! Rn .

1.3.1 A Derivada como transformação linear.

1.3.2 Regra da Cadeia. Mudança de Coordenada em Rn.

1.3.3 Teorema da Função Inversa.

1.3.4 Forma Local das Submersões e das Imersões.

1.3.5 Exemplos.


Seção 2 - Campos Vetoriais .

2.1 - Exemplos. Operadores Diferenciáveis .

2.1.1 Campos Conservativos.

2.1.2 Campos Lineares em Rn, n _ 3.

2.1.3 Campos como Operadores Diferenciais.

2.1.4 Derivada de Lie de um Campo Vetorial.

2.1.5 Álgebra de Lie dos Campos Vetoriais. Integrabilidade.

2.1.6 Operadores Diferenciais Rotacional e Divergente.

2.2 - Fluxos de Campos Vetoriais .

2.2.1 Fluxos.

2.2.2 Fluxos Lineares em Rn, n _ 3.

2.2.3 Teorema de Existência Local, Unicidade e Diferenciabilidade

de Fluxos.
Seção 3 - Integração Vetorial .

3.1 - Teoremas Clássicos de Integração .

3.1.1 Teorema Fundamental do Cálculo, Stokes e Gauss.

3.2 - Formas Diferenciais .

3.2.1 Álgebra Exterior.

3.2.2 Formas Diferenciais.

3.2.3 Operador Derivada Exterior.

3.2.4 Teorema de Stokes.

3.2.5 Aplicações.
Referências Bibliográficas

A numeração atribuída as referência bibliográficas em cada seção representa

a ordem, em importância, sugerida pela presente proposta.

1. Seção 1

[ 1 ] - Lima, Elon L. - Análise Real, Funções de n Variáveis, vol 2, Coleção Matemática Universitária, IMPA.

[ 2 ] - Spivak,M - Calculus on Manifolds - Benjamin/CUmminings Publ. Company.

2. Seção 2

[ 1 ] - Abraham,R.; Marsden,J.E. and Ratiu,T. - Manifolds, Tensor Analysis and Applications - Applied Mathematical Sciences 75, Springer.

[ 2 ] - Smale,S. and Hirsch,M. - Diferential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra - Mathematics 60, Academic Press.

[ 3 ] - Spivak, M. - Diferential Geometry - Publish or Perish.



3. Seção 3

[ 1 ] - Spivak,M - Calculus on Manifolds - Benjamin/CUmminings Publ. Company.

[ 2 ] - Guillemin,V. and Pollack,A. - Di_erential Topology - Prentice Hall.

ANÁLISE FUNCIONAL

PRÉ-REQUISITOS: Álgebra Linear e Análise.

Nº DE HORAS/AULA SEMANAIS: 06
EMENTA – Espaços normados, espaços com produto interno, teoremas fundamentais para espaços normados, teoria espectral para operadores lineares em espaços normados e teoria espectral para operadores compactos em espaços normados.
OBJETIVO: Introduzir ao aluno algumas ferramentas de análise funcional, correlacionando as mesmas com as diversas áreas da matemática onde elas são necessárias.
PROGRAMA DETALHADO:

I. Espaços normados e espaços de Banach - Cap. 2 do livro texto 1, seções:

2.2. Espaços normados e espaços de Banach.

2.3. Propriedades de espaços normados

2.4. Espaços normados de dimensão finita

2.5. Compacidade e dimensão finita

2.6. Operadores lineares

2.7. Operadores limitados e contínuos

2.8. Funcionais lineares

2.9. Operadores lineares em espaços de dimensão finita

2.10. Espaços de operadores. Espaço dual


II. Espaços com produto interno e espaços de Hilbert – Cap. 3 do livro texto 1, seções:

3.l. Espaços com produto interno. Espaços de Hilbert

3.2. Propriedades de espaços com produto interno

3.3. Somas diretas e complemento ortogonal

3.4. Conjuntos e sequências ortonormais

3.5. Séries relacionadas a conjuntos e sequências ortonormais

3.6. Conjuntos e séries totalmente ortonormais

3.8. Representação de funcionais em espaços de Hilbert

3.9. Operador adjunto (de Hilbert)

3.10. Operadores auto-adjuntos, unitários e normais.


III. Teoremas fundamentais em espaços normados e espaços de Banach – Cap. 4 do livro texto 1, seções:

4.1. Lema de Zorn

4.2. Teorema de Hanh-Banach

4.3. Teorema de Hanh-Banach para espaços vetoriais complexos e espaços normados

4.4. Aplicações à funcionais lineares em C([a,b])

4.5. Operador adjunto

4.6. Espaços reflexivos

4.7. Teorema da limitação uniforme

4.8. Convergência forte e fraca

4.9. Convergência de sequências de operadores e funcionais

4.12. Teorema do mapeamento aberto

4.13. Teorema do gráfico fechado


IV. Teoria Espectral para operadores lineares – Cap. 7 do livro texto 1, seções:

7.1. Teoria espectral em espaços de dimensão finita

7.2. Conceitos básicos

7.3. Propriedades espectrais de operadores lineares limitados

7.4. Mais propriedades do resolvente e do espectro

7.5. Uso de análise complexa em teoria espectral

7.6 Álgebras de Banach
V. Teoria espectral para operadores compactos – Cap. 2 do livro texto 2, seções:

4. Operadores compactos

5. A diagonalização de operadores compactos auto-adjuntos

7. O teorema espectral e cálculo funcional para operadores compactos normais


BIBLIOGRAFIA:

Livros textos:

  1. Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications, John Wiley, 1989.

  2. Conway, John B., A Course in Functional Analysis, 2nd edition, Springer-Verlag, 1994.

Bibliografia complementar:

  1. Dunford, N.; Schwartz, J. T., Linear Operators. Part 1 and 2, John Wiley

  2. Eidelman, Yuli, Vitali Milman, and Antonis Tsolomitis, Functional Analysis: An Introduction, American Mathematical Society, 2004.

  3. Hirsch F., Lacombe G., Elements of Functional Analysis, Springer 1999.

  4. Kolmogorov, A. N., Fomin, S. V., Elementos da Teoria das Funções e de Análise Funcional. Mir, 1982.

  5. Rudin, W. K., Functional Analysis, Boston, McGraw-Hill, 1991. 

  6. Pietsch, Albrecht, History of Banach spaces and linear operators, Birkhauser Boston Inc., 2007.



ÁLGEBRA LINEAR

PRÉ-REQUISITO: x-x

Nº DE HORAS/AULA SEMANAIS: 06
EMENTA – Revisão de conceitos básicos sobre espaços vetoriais: subespaços, base e dimensão, coordenadas. Revisão de transformações lineares, o espaço das transformações lineares e isomorfismos. Capítulos 3, 6, 7, 8, 9 e 10 do livro texto, ou seja, espaços dual e bidual, formas canônicas elementares, forma canônica de Jordan, espaços com produto interno, operadores sobre espaços com produto interno e formas bilineares.
OBJETIVO: Introduzir o aluno a assuntos importantes de álgebra linear que são aplicados em diferentes áreas da matemática.
PROGRAMA DETALHADO:

I. Espaços vetoriais e transformações lineares (recordação) - Cap. 2 e 3 do livro texto, seções:

2.1. Espaços vetoriais.

2.2. Subespaços vetoriais.

2.3. Bases e dimensão.

2.4. Coordenadas.

3.1. Transformações lineares.

3.2. A álgebra das transformações lineares.

3.3. Isomorfismo.

3.4. Representações de transformações lineares por matrizes.


II. O dual e o bidual – Cap. 3 do livro texto, seções:

3.5. Funcionais lineares.

3.6. O bidual.

3.7. A transposta (adjunta) de uma transformação linear.


III. Formas canônicas – Cap. 6 do livro texto, seções:

6.2. Valores característicos.

6.3. Polinômios anuladores.

6.4. Subespaços invariantes.

6.6. Decomposições em somas diretas e espaços quociente (apêndice A.4 do livro texto).

6.7. Somas diretas invariantes.

6.8. O teorema da decomposição primária.
IV. A forma canônica de Jordan – Cap. 7 do livro texto, seções:

7.1. Subespaços cíclicos e anuladores.

7.2. Decomposições cíclicas.

7.3. A forma de Jordan.


V. Espaços com produto interno – Cap. 8 do livro texto, seções:

8.1. Produtos internos.

8.2. Espaços com produto interno.

8.3. Funcionais lineares e adjuntos.

8.4. Operadores unitários.

8.5. Operadores normais.


VI. Operadores sobre espaços com produto interno – Cap. 9 do livro texto, seções:

9.2. Formas sesquilineares sobre espaços com produto interno.

9.5. Teoria espectral.
VII. Formas bilineares – Cap. 10 do livro texto, seções:

10.1. Formas bilineares.

10.2. Formas bilineares simétricas.

10.3. Formas bilineares anti-simétricas.


BIBLIOGRAFIA:

Livro(s) Texto(s)):

  1. K. Hoffman and R. Kunze – Álgebra Linear – LTC, 2ª edição 1979.

Bibliografia complementar:

  1. W. H. Greub – Linear Algebra – Springer-Verlag, third edition 1967.

  2. S. Roman - Advanced Linear Algebra – Springer-Verlag, third edition 2008.

  3. E. L. Lima - Álgebra Linear – IMPA, sexta edição 2003.

  4. P. R. Halmos – Finite-dimensional vector spaces – Springer, second edition 1958.



Álgebra Linear Computacional

PRÉ-REQUISITO: x-x

Nº DE HORAS/AULA SEMANAIS: 06
EMENTA: Análise matricial. Decomposição em valores singulares. Sensibilidade de sistemas de equações lineares. Decomposição QR. Métodos para problemas de quadrados mínimos lineares. Análise de sensibilidade. Métodos iterativos clássicos para sistemas lineares. Introdução a Métodos baseados em subespaços de Krylov.
OBJETIVO:

Apresentar conceitos da Álgebra Linear sob o ponto de vista da análise matricial enfatizando o papel de resultados fundamentais da área na solução de problemas lineares provenientes de aplicações.


PROGRAMA

UNIDADE I - Normas de vetores e matrizes, decomposição em valores singulares e sensibilidade numérica de sistemas de equações lineares (Cap. 2 do livro texto 1).

1.1 Normas vetorias e normas matriciais.

1.2 Decomposição em valores singulares.

1.3 Projeções Ortogonais e distância entre subespaços.

1.3 Decomposição CS.

1.4 Sensibilidade dos sistemas lineares quadrados.
UNIDADE II - Álgebra numérica matricial (Cap. 3 e Cap. 4 do livro texto 1 )

2.1 Transformações matriciais (Householder, Givens, Gauss).

2.2 Fatoração LU. Pivotamento.

2.3 LU por blocos

2.4 Sistemas Lineares especiais.

2.5 LU por blocos


UNIDADE III - Ortogonalização e Método dos quadrados mínimos (Cap. 5 livro texto 1)

3.1 Propriedades.

3.2 Métodos de Householder, Gram-Schmidt e Givens.

3.3 Problema de quadrados mínimos e as equações normais

3.4 Fatoração QR com pivotamento e SVD.

3.5 Análise de sensibilidade


UNIDADE IV - Métodos iterativos para sistemas lineares e Introdução a métodos baseados em subespaços

de Krylov (Cap. 6 do livro texto 2)

4. 1 Métodos iterativos clássicos (Jacobi, Gauss-Seidel, SOR)

4.3 Aceleração polinomial e método semi-iterativo de Chebyshev.

4.4 Introdução a subespaçoes de Krylov

4.4 Métodos do gradiente e gradiente conjugado. Precondicionamento.


BIBLIOGRAFIA

Livro texto 1:

GOLUB, Gene H.; VAN LOAN, Charles F. Matrix computations. 3rd. ed. Baltimore: Johns Hopkins University Press, 1996.



Livro Texto 2:

DEMMEL, James W.; Applied Numerical Linear Algebra. Philadelphia: SIAM, 1997.



Bibliografia Complementar:

a) BHATIA, Rajendra. Matrix analysis. New York: Springer, 1996.

b) GREENBAUM, Anne; Iterative Methods for Solving Linear Systems. Philadelphia: SIAM, 1997..

c) HORN, Roger A.; JOHNSON, Charles R. Matrix analysis. Cambridge: Cambridge University Press, 1990.

d) MEYER, Carl D. Matrix analysis and applied linear algebra. Philadelphia: SIAM, 2000.

e) TREFETHEN, Lloyd N.; BAU, David. Numerical Linear Algebra. Philadelphia: SIAM, 1997.

f). WATKINS, David S. Fundamentals of matrix computations. New York: J. Wiley, 1991.

EQUACÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

PRÉ-REQUISITO: x-x

Nº DE HORAS/AULA SEMANAIS: 06
EMENTA: Alguns métodos usuais de resolução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Equações diferenciais ordinárias de ordem superior. Sistemas lineares com coeficientes constantes. Cálculo da exponencial de uma matriz usando o teorema da forma canônica de Jordan. Retratos de fase de sistemas bidimensionais. Teorema de existência e unicidade de soluções. Estabilidade de soluções de sistemas não lineares. Teoremas de Liapunov para estabilidade.
OBJETIVOS GERAIS:

I . Propiciar ao aluno condições de:

1. Desenvolver sua capacidade de dedução e de raciocínio lógico e organizado;

2. Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas e seu espírito crítico e criativo;

3. Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas da Matemática apresentadas ao longo do curso

4. Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.
II - Incentivar o aluno ao uso da Biblioteca.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:


  1. Dominar com rigor e detalhes conceitos e resultados relativos aos métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias lineares de ordem n.

  2. Dominar conceitos e técnicas de resolução de sistemas lineares de equações diferenciais ordinárias.

  3. Saber calcular a exponencial de uma matriz usando a forma canônica de Jordan.

  4. Conhecer os retratos de fase de sistemas lineares bidimensionais.

  5. Conhecer e aplicar teoremas de existência e unidade de resoluções de equações diferenciais ordinárias.

  6. Entender o conceito de estabilidade segundo Lyapunov e aplicar o Teorema de Estabilidade a sistemas autonomos.


CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

I. TEORIA GERAL



  1. Definição de uma equação diferencial ordinária de 1ª ordem, exemplos.

  2. Problema de valor inicial.

  3. Existência e unicidade de soluções – Discussão preliminar.

  4. Sistemas de equações diferenciais ordinárias.

  5. Equações diferenciais ordinárias de ordem n.

  6. O método da variação dos parâmetros.

  7. Equações diferenciais ordinárias exatas – Fator integrante.

II. SISTEMAS LINEARES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS



  1. Definição de um sistema de EDO’s, exemplos, existência de solução.

  2. Sistemas lineares homogêneos: Espaço – solução, Matriz fundamental, Fórmula de Abel (Liouville), Wronskiano.

  3. Sistemas lineares não-homogêneos – Variação dos parâmetros.

  4. Sistemas lineares com coeficientes constantes: Exponencial de uma matriz, Método dos autovalores e autovetores cálculo de exponencial de matrizes, cálculo de exponencial de uma matriz usando a forma canônica de Jordan.

  5. Retratos de fase de sistemas lineares bidimensionais.

III. TEORIA DE EXISTÊNCIA E UNICIDADE



  1. Teorema de existência e unicidade de soluções – Método de Picard.

  2. Teorema de existência e unicidade para sistemas lineares.

  3. Extensão de soluções.

IV. ESTABILIDADE DE SISTEMAS AUTÔNOMOS



  1. Definição de estabilidade e estabilidade assintótica, exemplos.

  2. Estabilidade para sistemas lineares e quase-lineares.

  3. O Teorema de Lyapunov para estabilidade.


BIBLIOGRAFIA

  1. BRAUER, F., Nohel, J.A; Ordinary Differential Equations: A First Course, W. A. Benjamin, INC, New York, 1967.

  2. BRAUER, F., Nohel, J.A; The Qualitative Theory of Ordinary Differencial Equations, W., Benjamin, INC., 1969.

  3. Braun, M, Equações Diferenciais e suas Aplicações, Ed. Campus, Rio de Janeiro, 1979.

  4. CODDINGTON, E. A., An Introduction to Ordinary Equations, Dover publications. INC, New York, 1993.

  5. De FIGUEIREDO, D. G. e NEVES, A. F., Equações Diferenciais Aplicadas, Colóquio Brasileiro de Matemática, Universitária, 2002..

  6. HIRSCH, M., SMALE, S., Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Álgebra, Academic Press, INC. N. Y., 1974.

  7. YOSIDA, K., Lectures on Differential and Integral Equations, Wiley Inter-science, N. Y., 1960.

  8. BELLMAN, R, & COOKIE, K. L., Modern Elementary Differential Equations: Second Edition, Publications, INC, New York, 1994.



VARIÁVEL COMPLEXA

PRÉ-REQUISITO: Álgebra Linear e Análise

Nº DE HORAS/AULA SEMANAIS: 06
EMENTA – Números complexos. Seqüências no plano complexo. A esfera de Riemann. Funções de uma variável complexa. Condições de Cauchy-Riemann. Integração de funções complexas. Teorema de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy. Teorema de Goursat. Funções analíticas e séries de potências. Séries de Laurent. Cálculos de integrais com resíduos. Transformações conformes e suas aplicações. Continuação analítica. Introdução às superfícies de Riemann.
OBJETIVO: Propiciar ao aluno condições de dominar e aplicar os conceitos relativos às funções de uma variável complexa.
PROGRAMA DETALHADO:

I. Rápida revisão de números complexos baseada no Cap. 1 do livro texto:

1. Os números reais

2. O corpo dos números complexos

3. O plano complexo

4. Representação polar e raízes de números complexos

5. Retas e semi-planos no plano complexo

6. O plano estendido e sua representação esférica
II. Propriedades Elementares e Exemplos de Funções Analíticas - Cap. 3 do livro texto:

1. Séries de potência

2. Funções analíticas

3. Funções analíticas como aplicações; transformações de Mobius


III. Integração Complexa - Cap. 4 do livro texto:

1. Integrais de Riemann-Stieltjes

2. Representações de funções analíticas por séries de potências

3. Zeros de uma função analítica

4. O índice de uma curva fechada

5. Teorema de Cauchy e a Fórmula Integral

6. A versão homotópica do Teorema de Cauchy e conexidade simples

7. Contando zeros; o Teorema da Aplicação Aberta

8. Teorema de Goursat
IV. Singularidades - Cap. 5 do livro texto:

1. Classificação de singularidades

2. Resíduos

3. O Princípio do Argumento


V. O Teorema do Módulo Máximo - Cap. 6 do livro texto:

1. O Princípio do Máximo

2. Lema de Schwarz

3. Funções convexas e o Teorema dos Três Círculos de Hadamard

4. Teorema de Phragmen-Lindelof

VI. Compacidade e Convergência no Espaço das Funções Analíticas – Cap. 7 do livro texto

1. O espaço das funções contínuas C(G,Q)

2. Espaços de funções analíticas

3. Espaços de funções meromorficas

4. Teorema da Aplicação de Riemann

5. Teorema da Fatoração de Weierstrass

6. Fatoração da função seno

7. A função gamma

8. A função zeta de Riemann
VII. Continuação Analítica e Superfícies de Riemann - Cap. 9 do livro texto:

1. O Princípio de Reflexão de Schwarz

2. Continuação Analítica ao longo de um caminho

3. Teorema da Monodromia

4. Espaços topológicos e sistemas de vizinhanças

5. O feixe de germes de funções analíticas sobre um conjunto aberto


BIBLIOGRAFIA:

Livro texto:

CONWAY, J. B. - Functions of One Complex Variable, Berlin, Springer-Verlag, 1978.



Bibliografia complementar:

  1. AHLFORS, L. - Complex Analysis. New York, McGraw-Will, 1966.

  2. CARTAN, H. - Theórie Élementaire des Fonctions Analytiques d'une ou Plusieurs Variables Complexes. Paris, Hermann, 1961.

  3. LANG, S. - Complex Analysis, 4th edition, Springer-Verlag, 1999, 485p.

  4. STEIN, E., SHAKARCHI, R., Complex Analysis, Princeton Lectures in Analysis, Princeton University Press, 2003, 379p.



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