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PROBLEMA 3


Na seguinte soma: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6, se suprimirmos os dois primeiros sinais de “+” obtemos a nova soma 123 + 4 + 5 + 6 = 138. Suprimindo três sinais de “+” podemos obter 1 + 23 + 456 = 480.

Consideremos agora a soma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13, na qual serão suprimidos alguns sinais de “+”. Quais são os três menores múltiplos de 100 que podemos obter desta forma?


PROBLEMA 4


Cada casa de um tabuleiro 5 × 5 é pintada de vermelho ou de azul, de tal forma que seja cumprida a seguinte condição: “Para quaisquer duas filas e duas colunas, das 4 casas que estão em suas interseções, há 4, 2 ou 0 pintadas de vermelho.” De quantas formas podemos pintar o tabuleiro?

PROBLEMA 5


Um jogo de paciência se inicia com 25 cartas em fila. Algumas estão viradas para cima, e outras viradas para baixo.

Em cada movimento devemos escolher uma carta que esteja virada para cima, retirá-la e virar as cartas vizinhas à que foi retirada (se houver).

Ganha-se o jogo de paciência quando conseguimos, repetindo este movimento, retirar as 25 cartas da mesa.

Se inicialmente há n cartas viradas para cima, encontre todos os valores de n para os quais se pode ganhar o jogo. Explique a estratégia vencedora, independentemente da localização inicial das cartas viradas para cima, e justifique por quê é impossível ganhar para os outros valores de n.



Duas cartas são vizinhas quando uma está imediatamente ao lado de outra, à direita ou à esquerda.

Por exemplo: a carta marcada com A tem duas cartas vizinhas e a marcada com B apenas uma. Depois de retirar uma carta fica um espaço, de modo que a marcada com C tem unicamente uma carta vizinha, e a marcada com D não tem nenhuma.




RESULTADO BRASILEIRO

2009: Nível 1 (até 13 anos)

Nome

Cidade - Estado

Pontos

Prêmio

Luis Fernando Veronese Trivelatto

Cascavel - PR

30

Medalha de Ouro

Lucas Carvalho Daher

Anápolis - GO

29

Medalha de Prata

Guilherme Renato Martins Unzer

São Paulo - SP

27

Medalha de Prata

Elias Brito Oliveira

Brasília - DF

26

Medalha de Bronze

Lucas Cardoso Zuccolo

São Paulo - SP

25

Medalha de Bronze

Gustavo Lima Lopes

Barra de São Fco. - ES

24

Medalha de Bronze

Rafael Rodrigues Rocha de Melo

Fortaleza - CE

24

Medalha de Bronze

Igor Albuquerque Araújo

Rio de Janeiro - RJ

23

Menção Honrosa

Liara Guinsberg

São Paulo - SP

23

Certificado

Fellipe Sebastiam da Silva Paranhos Pereira

Rio de Janeiro - RJ

23

Certificado

 

2009: Nível 2 (até 15 anos)


Nome

Cidade - Estado

Pontos

Prêmio

João Lucas Camelo Sá

Fortaleza - CE

50

Medalha de Ouro

César Ilharco Magalhães

Barbacena - MG

42

Medalha de Prata

Bruno Silva Mucciaccia

Vitória - ES

40

Medalha de Prata

Daniel dos Santos Bossle

Porto Alegre - RS

40

Medalha de Bronze

Gustavo Haddad Francisco e Sampaio Braga

S.J. dos Campos - SP

38

Medalha de Bronze

Otávio Araújo de Aguiar

Fortaleza - CE

38

Medalha de Bronze

Gabriel Militão Vinhas Lopes

Fortaleza - CE

35

Medalha de Bronze

Lara Timbó Araújo

Fortaleza - CE

33

Menção Honrosa

Artur A. Scussel

Fortaleza - CE

32

Menção Honrosa

Bruno Ferri de Moraes

São Paulo - SP

31

Menção Honrosa

 

XX OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA DO CONE SUL

Enunciados e resultado brasileiro
A XX Olimpíada de Matemática do Cone Sul foi realizada na cidade de Mar del Plata, Argentina entre os dias 16 e 17 de abril de 2009. A equipe foi liderada pelos professores Pablo Rodrigo Ganassim, de São Paulo – SP e Alex Correa Abreu, de Niterói – RJ.
RESULTADOS DA EQUIPE BRASILEIRA


BRA1

Deborah Barbosa Alves

Medalha de Prata

BRA2

Gabriel Militão Vinhas Lopes

Medalha de Bronze

BRA3

Matheus Barros de Paula

Medalha de Prata

BRA4

Matheus Secco Torres da Silva

Medalha de Bronze


PROBLEMA 1


Os quatro círculos da figura determinam 10 regiões limitadas. Nessas regiões são escritos 10 números inteiros positivos distintos cuja soma é 100, um número em cada região. A soma dos números contidos em cada círculo é igual a S (a mesma para os quatro círculos). Determine o maior e o menor valor possível de S.






PROBLEMA 2


Um corchete é composto por três segmentos de comprimento 1, que formam dois ângulos retos como mostra a figura.


É dado um quadrado de lado n dividido em n2 quadradinhos de lado 1 por meio de retas paralelas aos seus lados. Corchetes são colocados sobre esse quadrado de modo que cada segmento de um corchete cubra um lado de algum quadradinho. Dois segmentos de corchete não podem ficar sobrepostos.

Determine todos os valores de n para os quais é possível cobrir os lados dos n2 quadradinhos.

PROBLEMA 3

Sejam A, B e C três pontos tais que B é ponto médio do segmento AC e seja P um ponto tal que PBC 60º. São construídos o triângulo equilátero PCQ tal que B e Q estão em semiplanos diferentes em relação a PC, e o triângulo equilátero APR tal que B e R estão no mesmo semiplano em relação a AP. Seja X o ponto de interseção das retas BQ e PC; seja Y o ponto de interseção das retas BR e AP. Demonstre que XY e AC são paralelos.




PROBLEMA 4


Ana e Beto jogam em um tabuleiro de 11 linhas e 9 colunas. Primeiro Ana divide o tabuleiro em 33 zonas. Cada zona é formada por 3 casas adjacentes alinhadas vertical ou horizontalmente, como mostra a figura.

Depois, Beto escreve em cada casa um dos números 0, 1, 2, 3, 4, 5, de modo que a soma dos números de cada zona seja igual a 5. Beto ganha se a soma dos números escritos em cada uma das 9 colunas do tabuleiro é um número primo; caso contrário, Ana ganha. Demonstre que Beto tem uma estratégia vencedora.



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