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Sociedade Brasileira de Matemática
CONTEÚDO



AOS LEITORES


2

XV OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA DE MAIO

Problemas e Resultado Brasileiro


3



XX OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA DO CONE SUL

Problemas e Resultado Brasileiro



7



L OLIMPÍADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA (IMO)

Problemas e Resultado Brasileiro



9



XXIV OLIMPÍADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICA

Problemas e Resultado Brasileiro



11




ARTIGOS





PAR OU ÍMPAR? EIS A QUESTÃO

Samuel Barbosa Feitosa e Einstein do Nascimento Júnior



13



GEOMETRIA DO TRIÂNGULO: FATOS E PROBLEMAS

Carlos Yuzo Shine



28



SÉRIE HARMÔNICA DE NÚMEROS PRIMOS

Lenimar Nunes de Andrade



45



COMO É QUE FAZ?

50



SOLUÇÕES DE PROBLEMAS PROPOSTOS

52



PROBLEMAS PROPOSTOS

59



AGENDA OLÍMPICA

61



COORDENADORES REGIONAIS

62


AOS LEITORES


Por mais um ano consecutivo estamos iniciando a realização da Olimpíada Brasileira de Matemática.
A Olimpíada Brasileira de Matemática – OBM tem crescido substancialmente nos últimos anos, contando, em 2009, com a adesão ao evento de mais de 3.700 escolas, sendo 2.180 da rede pública e 1.608 da rede privada de ensino, o que implicou em uma participação efetiva de cerca de 180.000 jovens estudantes e seus professores. Além disso, a iniciativa contou com a colaboração de professores universitários em 155 instituições de ensino superior: eles participaram de todas as atividades, inclusive aquelas referentes à OBM Nível Universitário em atividades de coordenação, divulgação, treinamento de alunos, aperfeiçoamento de professores e aplicação das distintas fases da Olimpíada Brasileira de Matemática. Paralelamente, o projeto apóiou a realização de Olimpíadas Regionais de Matemática, contando com a participação de 165.148 estudantes das escolas públicas e privadas em todo o Brasil nas competições estaduais.

No que se refere à participação em competições internacionais, os resultados foram excelentes: Em particular, Henrique Ponde conquistou a oitava medalha de Ouro do Brasil na IMO. Além disso, nesta IMO, todos os alunos da equipe brasileria ganharam medalhas.


Durante 2009 a CAPES e o CNPq lançaram o Programa de Iniciação Científica – Mestrado (PICME) para medalhistas da OBMEP e OBM, beneficiando 19 estudantes premiados na Olimpíada Brasileira de Matemática – OBM, com o objetivo de aumentar o número de matemáticos no país, e oferecer uma formação matemática mais sólida a jovens profissionais de outras áreas científicas e tecnológicas.


Todos estes resultados nacionais e internacionais demonstram que, além de influenciar positivamente o ensino da Matemática nas instituições de ensino fundamental, médio e superior, conseguimos detectar jovens muito talentosos que são estimulados a seguir uma carreira científica, o que é fundamental para o crescimento da Ciência e Tecnologia no país. A Olimpíada Brasileira de Matemática é um projeto conjunto da Sociedade Brasileira de Matemática, do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) e conta com o apoio do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e do Instituto Nacional de Ciência e Tecnologia de Matemática (INCTMat).
Os editores

XV OLIMPÍADA DE MAIO


PRIMEIRO NÍVEL




PROBLEMA 1


A cada número natural de dois algarismos associamos um dígito da seguinte forma: Multiplicam-se seus algarismos. Se o resultado é um dígito, este é o dígito associado. Se o resultado é um número de dois dígitos, multiplicam-se estes dois algarismos, e se o resultado é um dígito, este é o dígito associado. Caso contrario, repetimos a operação. Por exemplo, o dígito associado a 32 é o 6 pois 3 × 2 = 6; o dígito associado a 93 é o 4 pois 9 × 3 = 27, 2 × 7 = 14, 1 × 4 = 4.

Encontre todos os números de dois algarismos aos que se associa o dígito 8.



PROBLEMA 2


Encontre números primos p, q, r para os quais . Diga todas as possibilidades.

Obs: Lembre-se que o número 1 não é primo.



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