4 As novas tecnologias de informação no currículo e na prática pedagógica



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As novas tecnologias de informação

no currículo e na prática pedagógica1

Objectivos

Com o estudo desta unidade espera-se que:

• Conheça as etapas decisivas da utilização das novas tecnologias da informação no ensino da Matemática e as suas tendências actuais;

• Identifique as principais potencialidades da calculadora e do computador para o ensino da Matemática, nomeadamente ao nível dos objectivos educacionais, dos conteúdos matemáticos, das actividades a realizar, da comunicação e ambiente na sala de aula e da avaliação;

• Discuta diversas formas de utilização da calculadora e do computador no ensino da Matemática, quer na sala de aula, quer em espaços extra-lectivos;

• Conheça os resultados da investigação já realizada no domínio da utilização da calculadora e do computador no ensino da Matemática.



Resumo

As novas tecnologias da informação trazem mudanças profundas ao ensino da Matemática. Neste capítulo descrevem-se os aspectos mais marcantes das primeiras abordagens ao uso do computador e da calculadora no ensino da Matemática e faz-se o ponto da situação actual. Discutem-se igualmente as implicações destes instrumentos no que respeita aos objectivos educacionais, aos conteúdos curriculares, às actividades matemáticas, à comunicação e ao ambiente na sala de aula e à avaliação. Especial atenção é dada à análise das tarefas em que se pode tirar partido da utilização do computador ou da calculadora e sugerem-se diversas formas de organização das situações de aprendizagem onde se usam estes instrumentos. A concluir, apresentam-se alguns dos resultados da investigação realizada neste domínio e indicam-se algumas questões ainda em aberto.



4.1 Perspectivas sobre o uso das NTI na educação matemática

4.1.1 As principais etapas

As primeiras experiências de utilização das novas tecnologias da informação no ensino da Matemática remontam à década de 60, numa fase em que os computadores eram ainda muito raros, dispendiosos e complicados de operar. Diversos projectos pioneiros procuraram colocar o computador ao serviço do ensino das várias disciplinas e, muito em particular, da Matemática2. Era o período do Ensino Assistido por Computador3, perspectiva que viria, durante algum tempo, a ser objecto de diversas experiências e a provocar acesa discussão. Concluiu-se, por fim, que esta modalidade do uso do computador não só ficava aquém dos objectivos a que se propunha no domínio da transmissão de conhecimentos e treino de capacidades específicas como se mostrava desenquadrada dos novos objectivos do ensino da Matemática formulados nos anos 80, em que se valorizam outros aspectos ligados à resolução de problemas, raciocínio e comunicação4.



As calculadoras surgem nos anos 70, dando igualmente origem a um grande debate sobre o seu papel no ensino da Matemática. O baixo custo, a facilidade de utilização e a progressiva acessibilidade tornou-as em instrumentos cada vez mais vulgares, usados por muitas pessoas na sua actividade profissional e no dia-a-dia. No entanto, a utilização da calculadora na aula de Matemática começou por ser vista com bastante desconfiança tanto pelos pais como pelos professores, provocando durante muito tempo fortes reacções de rejeição.

Por detrás destas reacções estava a ideia que os alunos não desenvolveriam devidamente as destrezas de cálculo e a sua aprendizagem da Matemática sairia, portanto, prejudicada. Esta ideia tem por base uma tradição que valoriza fortemente o cálculo e que durante muitos anos marcou o ensino desta disciplina. Por um lado, os pais dos alunos aprenderam a fazer os algoritmos das operações básicas (e eventualmente o da raiz quadrada!) com papel e lápis, o que constituía para eles motivo de orgulho. Por outro lado, esses algoritmos consistiam na matéria essencial de ensino dos professores. E, de facto, muitos deles colocavam até há pouco tempo atrás a questão: “Se os alunos podem usar a calculadora, o que é que eu lhes vou ensinar?”

Assim, em muitos casos, a calculadora começou por ser admitida na aula apenas para fazer a verificação dos resultados do cálculo após este ter sido realizado pelo aluno pelos algoritmos tradicionais, com papel e lápis ou, na melhor das hipóteses, como um substituto destes algoritmos apenas perante contas muito maçadoras.

Nos últimos anos, muitos professores começaram a tirar um melhor partido da calculadora na aula de Matemática. A destacar há as utilizações deste instrumento como uma ferramenta de trabalho em actividades de natureza investigativa, na resolução de problemas, na introdução de conceitos matemáticos e em jogos que desenvolvem o cálculo mental.

Diversos estudos que têm vindo a ser feitos com o objectivo de avaliar os efeitos do uso da calculadora no ensino da Matemática destacam diversos aspectos positivos5. Pode hoje afirmar-se que o uso da calculadora facilita a criação duma melhor relação dos alunos com a Matemática, ajuda a compreender melhor alguns conceitos matemáticos e assiste o desenvolvimento da capacidade de resolução de problemas, sem produzir os temidos efeitos perversos nas capacidades básicas de cálculo dos alunos. Desta forma, as calculadoras não são apenas poderosos instrumentos de cálculo. Elas são também materiais com muitas potencialidades para promover uma melhor aprendizagem da Matemática.

Os anos 80 assistiram a um grande interesse pela exploração do uso do computador no ensino da Matemática. O aparecimento de computadores a preços relativamente acessíveis ao grande público e o surgimento de ferramentas informáticas de uso geral como a folha de cálculo, os programas de processamento de texto e de gráficos levaram à sua vulgarização na sociedade. Em muitos países, tornou-se possível promover projectos em grande escala com vista à utilização educativa deste instrumento6.

O computador foi desde sempre visto como um elemento de progresso. Por isso, a sua integração na escola tem sido, de um modo geral, bem encarada pelos educadores e pela opinião pública em geral. Apesar de muitos factores adversos, entre os quais a falta de recursos informáticos e as deficientes condições de trabalho, muitos professores entusiastas têm procurado ensaiar novas modalidades de trabalho com os alunos.

Em diversos países, o computador começou a ser usado em contexto extra-lectivo com grupos de alunos voluntários que aprendiam linguagens de programação7. Num primeiro momento foi bastante utilizado o BASIC, por ser uma linguagem acessível que permite a construção de pequenos programas para resolver determinados problemas matemáticos, como por exemplo, a determinação dos divisores de um dado número.

Mas foi a programação em LOGO que mais sucesso viria a ter nas escolas, principalmente nos níveis mais elementares. Esta linguagem, com o seu interface baseado na metáfora de “ensinar a tartaruga”, é de aprendizagem relativamente fácil e permite a realização de trabalho exploratório em geometria8, sendo adequada a uma vasta gama de níveis de escolaridade (desde o 1º ao 3º ciclo do ensino básico e ensino secundário).

Esta utilização do computador para programação deu origem à criação de muitos Clubes de Informática ou de Matemática, dinamizados geralmente por um pequeno grupo de professores interessados em explorar a utilização do computador no trabalho matemático com os alunos.

Estas experiências de utilização dos computadores mostraram que, na maior parte dos casos, os alunos envolvidos nestas actividades melhoravam a sua relação com a disciplina de Matemática e criavam uma maior predisposição para a aprendizagem dentro da sala de aula, mesmo quando eram alunos considerados problemáticos9. Esta foi talvez a influência mais significativa que tal tipo de utilização teve no ensino da Matemática.



É no final dos anos 80 que as novas tecnologias começam a entrar de modo mais directo na aula de Matemática. Para isto muito contribuiu a generalização da utilização educativa de ferramentas gerais10 particularmente adequadas para a aprendizagem da Matemática, como a folha de cálculo, e o desenvolvimento de software específico para o ensino desta disciplina.

Este software tornou acessível a um grande número de pessoas a utilização do computador, nomeadamente àqueles que não se sentiam atraídos pela programação. Além disso, tornou mais fácil compatibilizar o uso deste instrumento com os conteúdos do currículo e tornou menos dispendiosa, em termos de tempo, a familiarização do professor e dos alunos com cada programa.

Nos últimos anos têm-se multiplicado as experiências de utilização lectiva do computador. Muitos professores têm conduzido actividades com as novas tecnologias de informação, com alunos de todas as idades, ensaiando abordagens diferentes aos conteúdos programáticos, experimentando novas metodologias de trabalho, reequacionando o seu papel e o dos alunos no processo de ensino-aprendizagem da Matemática.

4.1.2 O estado da arte

A evolução tecnológica tem vindo a lançar no mercado máquinas cada vez mais poderosas e de utilização mais simples. As escolas, ainda que muito lentamente, têm vindo a ser progressivamente equipadas. O surgimento de ferramentas informáticas muito aperfeiçoadas e, mais recentemente, o desenvolvimento de software de maior qualidade para o ensino da Matemática tem aberto novas possibilidades de integração do computador na aula, permitindo novas abordagens dos conteúdos curriculares.

As experiências que se têm vindo a desenvolver e a discussão e reflexão que têm suscitado salientam de maneira inequívoca as imensas potencialidades das novas tecnologias quer como suporte de demonstração e discussão, quer como instrumento de exploração e investigação. A sua utilização é claramente recomendada pelos programas de Matemática em vigor (Ministério de Educação, 1991a, 1991c).

A utilização lectiva da calculadora e do computador, pode hoje afirmar-se, tem influências significativas tanto no que respeita aos objectivos como às formas de trabalho (Ponte, 1995):

Impõe a relativização da importância das competências de cálculo e de simples manipulação simbólica, uma vez que o cálculo numérico e algébrico são realizados de forma mais eficiente pelas máquinas, que, neste domínio, superam o ser humano em rapidez e rigor;

Incentiva o investimento no desenvolvimento de capacidades intelectuais de ordem mais elevada, como o raciocínio, a resolução de problemas e a capacidade crítica, que se situam para além do cálculo e da compreensão de conceitos e relações matemáticas simples;

Valoriza o papel da linguagem gráfica e de novas formas de representação, uma vez que as representações múltiplas que as máquinas proporcionam, com especial destaque para a gráfica, permitem outras abordagens às situações matemáticas, para além dos processos formais de cunho algébrico ou analítico;

Promove a realização de projectos e de actividades de modelação, de investigação e exploração pelos alunos, como parte fundamental da sua experiência matemática;

Possibilita o envolvimento dos alunos em actividade matemática intensa e significativa, favorecendo o desenvolvimento de atitudes positivas em relação à disciplina e uma visão mais próxima da sua verdadeira natureza.

Além disso, a utilização das novas tecnologias de informação no ensino da Matemática pode contribuir para tornar esta disciplina mais acessível aos alunos. Aqueles que geralmente têm dificuldades no cálculo numérico ou algébrico deixarão de ficar impedidos de compreender e trabalhar com ideias matemáticas importantes. Também por esta razão as novas tecnologias constituem uma oportunidade para que muitos alunos possam ser mais bem sucedidos na aprendizagem da Matemática.



Tarefas

1) Leia a seguinte transcrição do livro Everybody counts, que o National Research Council publicou em 1989, e faça o seu comentário crítico.

As estatísticas revelam que a opinião pública geral pensa que, no ensino da Matemática, as calculadoras são más enquanto que os computadores são bons. As pessoas acreditam que as calculadoras impedem as crianças de dominar a aritmética, um importante património que os pais se recordam de adquirir com coragem e orgulho. Os computadores, por outro lado, não são entendidos como uma ameaça às tradições da escola, mas como novas ferramentas necessárias à sociedade que as crianças que compreendem Matemática devem aprender a usar. Aquilo que o público falha em reconhecer é que tanto as calculadoras como os computadores são igualmente essenciais na educação matemática e têm igual potencial para um sensato uso ou abuso. (NRC, 1989, p. 61)

2) Esta banda desenhada do Calvin e Hobbes foi publicada no jornal Público. Que comentário lhe oferece?















3) Averigúe qual foi o impacto do Projecto MINERVA nas escolas da região onde vive.

Leituras recomendadas

Bernardes, A. e Veloso, E. (1990). O computador na sala de aula. Lisboa: Projecto MINERVA, DEFCUL. (pp. 9-27)

Ponte, J. P. (1993). Novas tecnologias na aula de Matemática. Educação e Matemática, 34 , 2-7.

4.2 Implicações das NTI no Ensino da Matemática

Uma das mais importantes tarefas em Educação Matemática, actualmente, é a revisão dos currículos e dos métodos de ensino de modo a tirar proveito das novas tecnologias de informação. O hardware poderoso e barato e o software que foi desenvolvido só nesta década desafiam todas as convicções tradicionais acerca do que devemos ensinar, como devemos ensinar e do que os alunos podem aprender (Fey, 1991, p. 45).

São muitos e variados os documentos com orientações curriculares para a Educação Matemática que salientam a importância e a relevância da utilização educativa da calculadora e do computador nos diversos níveis de ensino (APM, 1988; ICMI, 1986; NCTM, 1991; NRC, 1989, 1990). Na realidade, a utilização destes instrumentos no ensino da Matemática vem trazer implicações a diversos níveis, nomeadamente:

• Objectivos do ensino da Matemática

• Conteúdos curriculares

• Actividades matemáticas

• Comunicação e ambiente da aula

• Avaliação



4.2.1 Objectivos do ensino da Matemática

A utilização da calculadora e do computador na aula de Matemática permite equacionar novos objectivos educativos, consistentes com as actuais tendências do ensino desta disciplina. Em particular, o computador e a calculadora podem contribuir para a concretização das orientações curriculares dos actuais programas portugueses. Utilizados adequadamente, estes instrumentos podem ajudar a desenvolver muitas atitudes e capacidades apontadas nos novos programas e a abordar de forma interessante muitos dos temas matemáticos neles referidos.



No que diz respeito aos valores e atitudes, a calculadora e o computador são particularmente importantes no desenvolvimento da curiosidade e do gosto por aprender, pois proporcionam a criação de contextos de aprendizagem ricos e estimulantes, onde os alunos sentem incentivada a sua criatividade.

Também a confiança, a autonomia e o espírito de tolerância e cooperação podem ser promovidos com a utilização das novas tecnologias de informação. Estas tecnologias permitem que os alunos tenham um papel mais activo na sala de aula, possibilitando uma experiência matemática onde há lugar para a investigação, formulação e teste de conjecturas próprias, e para a discussão e comunicação matemática.

A utilização das novas tecnologias na aula de Matemática pode também ajudar os alunos a desenvolverem capacidades intelectuais de ordem mais elevada do que aquelas que estão associadas às competências de cálculo e à compreensão de conceitos e relações matemáticas simples. Dito de outro modo, as novas tecnologias tornam possível deslocar a ênfase normalmente dada à aprendizagem de técnicas, para o desenvolvimento de capacidades relacionadas com o raciocínio matemático. Ao possibilitarem aos alunos a realização de experiências diversas, as novas tecnologias favorecem o desenvolvimento do raciocínio estratégico, quer seja em contexto de exploração e investigação, quer seja em contexto de resolução de problemas. Também o desenvolvimento do espírito crítico pode ser estimulado, uma vez que ele se torna imprescindível para a avaliação da razoabilidade dos resultados fornecidos pelas máquinas.

As novas tecnologias da informação são ainda particularmente importantes para o desenvolvimento da capacidade de resolução de problemas, pois alargam as possibilidades de trabalho em muitas situações. O seu contributo é também inegável no desenvolvimento da capacidade de utilizar a Matemática na interpretação e intervenção no mundo que nos rodeia. Ao permitir a organização, tratamento e análise de grandes quantidades de dados realistas e o estudo de situações do dia-a-dia, as novas tecnologias facilitam o uso da Matemática como uma ferramenta para melhor compreender e até intervir no mundo, contribuindo para a formação de cidadãos mais informados e esclarecidos, com maior poder matemático, um objectivo geral do ensino da Matemática cada vez mais valorizado11.

4.2.2 Conteúdos curriculares

Existem dois aspectos fundamentais que precisam de ser considerados. O primeiro tem a ver com a forma como devem ser usadas as calculadoras e os computadores para apoiar e melhorar o ensino da Matemática na sala de aula. O segundo tem a ver com o alcance que a acessibilidade das calculadoras e dos computadores implicará no conteúdo daquilo que é ensinado ou a ênfase relativa que é dada a diferentes tópicos no currículo de Matemática. (Cockcroft, 1983, p. 109)

As novas tecnologias vêm implicar mudanças também nos temas matemáticos do currículo. As mudanças repercutem-se na relevância dos temas, na forma como são abordados e na sequência pela qual são introduzidos. No que diz respeito aos actuais programas portugueses, as novas tecnologias interferem significativamente na abordagem das quatro grandes áreas temáticas: números e cálculo, funções, geometria, estatística e probabilidades.

a) Números e cálculo

Durante muitos anos, o ensino da Matemática atribuiu uma grande importância às técnicas de cálculo. Os alunos passavam a grande maioria das aulas de Matemática a treinar a sua destreza nas quatro operações, no cálculo algébrico, no algoritmo da raiz quadrada, na resolução de equações de primeiro e segundo grau, nas operações com funções, no cálculo das derivadas e dos limites. Mas as novas tecnologias, realizam de forma rápida e eficiente muitas destas rotinas matemáticas, sugerem a mudança da ênfase do ensino para outros aspectos.



A relativização do papel do cálculo é talvez a mais profunda das implicações que as novas tecnologias trazem ao currículo de Matemática. Não faz qualquer sentido continuar a ver o cálculo como um fim em si mesmo, devendo este ser antes encarado com um meio para atingir certos resultados. Isto é aliás muito mais consonante com o papel que o cálculo assume na própria Matemática.

Havendo acesso facilitado a máquinas cuja especialidade é calcular, a atenção dos alunos já não precisa de se centrar no como fazer este ou aquele cálculo. Não existe agora qualquer justificação para que os alunos passem as aulas a fazer exercícios repetitivos com vista ao domínio das técnicas de cálculo, como acontecia até há bem pouco tempo.

Isto não quer dizer que o aluno não precise de conhecer os algoritmos das operações básicas e saber utilizá-los. Os algoritmos devem ser conhecidos e usados sempre que isso for adequado, em particular para fazer um cálculo simples ou mesmo para apurar uma estimativa – embora se saiba que os valores estimados resultam muitas vezes de processos alternativos de cálculo mental próprios de cada indivíduo.

Em contrapartida, passa a ser decisivo que os alunos dediquem mais atenção à identificação do tipo de cálculo que é necessário executar numa determinada situação. Por exemplo, para resolver um dado problema, os alunos deverão saber decidir se necessitam de um valor exacto ou aproximado, se o conseguem obter rapidamente com um simples cálculo mental, se será melhor recorrer ao papel e lápis, a uma calculadora ou até mesmo a um computador12.

Acima de tudo, é importante que os alunos ganhem uma postura crítica em relação aos resultados que obtêm nas máquinas. O desenvolvimento da capacidade de estimar torna-se essencial. Quando se realiza uma operação com uma máquina, diversos tipos de erros podem suceder13. Por isso, será sempre importante fazer uma ideia da ordem de grandeza e do sinal de um valor calculado pela máquina.

No que diz respeito ao conceito de número, a calculadora e o computador abrem possibilidades interessantes de trabalho com os alunos mais jovens. Um primeiro aspecto a referir é a facilidade de ampliar o conjunto de números com que os alunos geralmente contactam, que por razões de simplicidade de cálculo se restringia quase sempre a números inteiros de valor relativamente pequeno. A utilização da calculadora torna natural e fácil lidar tanto com números inteiros como com números não inteiros, quer sejam de valor muito pequeno ou muito grande, criando desde cedo sensibilidade nos alunos para a existência de diversos tipos de números, para os arredondamentos, etc.

Um outro aspecto que merece aqui destaque tem a ver com a possibilidade que as novas tecnologias abrem de os alunos mais jovens trabalharem com sucessões numéricas. Uma calculadora simples oferece um contexto bastante estimulante para que alunos de 6º ou 7º ano explorem diversos tipos de sucessões. Utilizando adequadamente a calculadora, os alunos podem lidar facilmente com progressões aritméticas e geométricas e até determinar a soma de diversos termos de uma progressão.

Ainda ao nível dos 2º e 3º ciclos, a calculadora e o computador tornam viável a investigação de variadas relações e propriedades numéricas por parte dos alunos, que encontram nas novas tecnologias um suporte para tentar justificar certas relações ou para testar as suas próprias conjecturas através da experimentação. Todos estes aspectos contribuem certamente para que os alunos possam conhecer melhor os números.



b) Funções

Se a calculadora relativiza a importância do cálculo numérico, o computador, por seu lado, relativiza a importância do cálculo algébrico. O software de manipulação simbólica actualmente existente permite efectuar cálculos bastante complexos, com maior rapidez e correcção do que os efectuados pelos matemáticos. Esta possibilidade, embora ainda relativamente pouco explorada, sugere que também neste domínio se pode diminuir a importância de muitos aspectos mecânicos que até agora eram centrais no ensino da Matemática, em especial na resolução de equações, inequações e muitas outras temas associadas ao estudo das funções.

Além disso, as capacidades gráficas das novas tecnologias viabilizam uma mudança na abordagem das funções, valorizando os aspectos intuitivos na construção de conceitos e na respectiva formalização. A abordagem geométrica, que nos últimos anos pouco foi considerada, pode agora abrir caminho para o estudo das funções, surgindo a abordagem analítica como um complemento mais rigoroso, como sistematização das ideias matemáticas previamente tratadas de modo mais informal.

Ainda de referir é a facilidade com que actualmente se passa a lidar com algumas funções. Enquanto anteriormente era necessário consultar tabelas para conseguir determinados valores de funções trigonométricas ou logarítmicas, por exemplo, hoje em dia esses valores obtêm-se facilmente com uma calculadora científica ou computador que, ainda por cima, nos fornece também valores de objectos não tabelados. Estes instrumentos proporcionam de facto, uma maior acessibilidade a uma grande variedade de valores tais como raízes cúbicas ou raízes de qualquer ordem, potências, factoriais, etc...



c) Geometria

A abordagem de grande parte da geometria, pode também ser muito alterada, pela possibilidade que os computadores oferecem de criação e manipulação de objectos matemáticos diversos. A aprendizagem desta matéria pode tornar-se mais activa e interessante, e realizar-se num ambiente experimental e investigativo, onde os alunos tenham possibilidade de formular e testar conjecturas, em especial quando apoiados por software que funcione como ambiente geométrico dinâmico14, e de descobrir grande parte das propriedades da geometria plana previstas nos 2º e 3º ciclos dos actuais programas portugueses.

Uma outra possibilidade que os computadores oferecem tem a ver com a facilidade de visualização, pois existem alguns programas que permitem obter variadas perspectivas de objectos geométricos tridimensionais, contribuindo assim para contornar um dos aspectos mais críticos da aprendizagem da geometria.

d) Estatística e probabilidades

Também a abordagem da estatística e das probabilidades pode ser alterada. A facilidade de armazenamento, organização e processamento de informação do computador e da calculadora, bem como a variedade de representações gráficas que proporcionam, dispensam os alunos da parte mecânica do tratamento e representação da informação, incentivando antes a análise e interpretação crítica dos resultados.

Por outro lado, tanto o computador como algumas calculadoras têm capacidade de gerar em poucos segundos valores aleatórios e milhares de dados simulados, favorecendo uma abordagem experimental das probabilidades e a percepção do seu papel no dia-a-dia no mundo em que vivemos.

e) Novos temas

A utilização das novas tecnologias possibilita ainda que novos temas sejam considerados no ensino da Matemática, em particular, temas que se desenvolveram precisamente nos últimos anos graças às possibilidades trazidas por aqueles instrumentos. Destaca-se aqui a geometria fractal e a teoria do caos15, dois temas matemáticos de grande actualidade, que se revelam cada vez mais importantes na modelação de fenómenos naturais e que passam a ser acessíveis aos alunos com a utilização do computador.



As novas tecnologias permitem pois repensar as abordagens tradicionalmente feitas aos conteúdos matemáticos e possibilitam a inserção curricular de outros tópicos que anteriormente não eram tratados na Matemática escolar.

4.2.3 Actividades matemáticas

O leque de tarefas matemáticas que o professor pode propor aos alunos na aula é largamente ampliado pelo computador e pela calculadora. Em particular, estes instrumentos são um importante contributo no desenvolvimento de tarefas que requerem o uso de capacidades diversas relacionadas com o pensamento matemático.



a) Investigação e exploração

O facto de o computador permitir efectuar rapidamente inúmeras experiências com objectos matemáticos diversos (números, gráficos, funções, figuras geométricas,...) torna viável uma abordagem investigativa da aprendizagem da Matemática. Este é talvez o mais importante contributo do computador para o ensino da Matemática. A realização de actividades de investigação implica a capacidade de observação, o espírito crítico, a formulação e teste de conjecturas, a criação de argumentação convincente e o desenvolvimento do raciocínio matemático.

As situações a investigar poderão ter origens variadas. Tanto podem ser propostas pelo professor como partir de questões colocadas pelos alunos. Podem centrar-se exclusivamente na Matemática, referir-se a outras ciências ou incidir na realidade experiencial dos alunos. Em qualquer caso, estes têm toda a vantagem em usar da tecnologia mais adequada para obter rapidamente os resultados das sucessivas experiências que efectuam com vista a chegar às suas conclusões.

O professor que deseje desenvolver a capacidade de investigação nos seus alunos tem muitas oportunidades ao seu alcance. Muitos dos resultados que são habitualmente apresentados como saber feito e acabado podem surgir de outros modos. O Cabri-Geomètre pode ser usado pelos alunos para descobrir que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus, independentemente do triângulo ser grande ou pequeno, isósceles ou escaleno, rectângulo ou acutângulo. Uma calculadora pode apoiar o estudo do comportamento das sucessões: o que acontece quando se multiplica um número por ele próprio sucessivas vezes? Os alunos serão tentados a fazer diversas experiências e concluirão que a resposta varia com a grandeza e com o sinal do número. Um traçador de gráficos de funções permite estudar o comportamento das parábolas e a decidir sobre a influência dos parâmetros: quando é que a parábola fica voltada para cima? E quando tem zeros?...

A utilização da calculadora e do computador oferece um contexto favorável a que os alunos trabalhem de forma criativa, formulando e testando conjecturas próprias e explorando ideias diversas. Os alunos têm a oportunidade de colocar questões e de responder às que consideram mais interessantes e que podem ser completamente distintas das dos seus colegas.

b) Resolução de problemas

O computador e a calculadora permitem também o desenvolvimento da capacidade de resolução de problemas por parte dos alunos. Não só lhes proporcionam novas estratégias como permite também a resolução de alguns problemas que de outra forma seriam intratáveis. Por exemplo, tornam possíveis abordagens numéricas e iterativas ou de natureza gráfica sem necessidade de cálculo ou álgebra. Este aspecto é de particular importância para alunos que têm dificuldades ao nível do cálculo algébrico, situação bastante frequente, e que assim não ficam privados de trabalhar e progredir em Matemática.

A utilização da folha de cálculo, por exemplo, permite encontrar respostas, de uma maneira bastante simples e natural, para problemas que envolvem sucessões tornando a respectiva resolução possível a alunos que ainda não estudaram aquele tema. Muitas situações podem ser exploradas sem necessidade de recorrer formalmente às progressões. A construção de uma sucessão de valores que reproduz o fenómeno em estudo possibilita aos alunos uma resolução do problema.

Os recursos tecnológicos ajudam também a estruturar problemas que envolvem grandes quantidades de dados e de cálculos, como é o caso de muitos dos problemas de optimização, por exemplo. Os alunos poderão estudar diversos cenários e explorar todas as possibilidades da situação para depois decidir qual a solução mais aconselhável.

c) Modelação e simulação

As novas tecnologias alargam significativamente a possibilidade de trabalho com as aplicações da Matemática. O recurso à calculadora gráfica e ao computador permite inclusivamente explorar, de forma simples e eficaz, modelos matemáticos que sem estes instrumentos seriam completamente inacessíveis aos alunos.

Para actividades de modelação pode usar-se a calculadora gráfica ou programas diversos, incluindo os programas de ajustamento de curvas, programas de gráficos de funções, folhas de cálculo, programas de modelação e programas de manipulação simbólica.

As situações a modelar podem ser tratadas com mais realismo. Por um lado, o trabalho com qualquer tipo de valores numéricos não levanta obstáculos. Por outro, os alunos podem identificar quaisquer variáveis e parâmetros que influenciam o modelo e procurar as suas relações sem se preocuparem com a manipulação simbólica consequente. Com o recurso tecnológico adequado, alunos do 6º ou 7º ano poderão definir um modelo que envolva mais do que uma variável e dedicar-se à experimentação de parâmetros e interpretação de resultados – o que seria inviável sem o recurso a estes instrumentos16.

A possibilidade de jogar com representações múltiplas da calculadora gráfica e do computador vem favorecer a fase de análise e interpretação dos resultados proporcionados pela manipulação do modelo em causa. A maior parte do software para modelação oferece simultaneamente a representação numérica, a gráfica e a simbólica. Este aspecto é importante uma vez que diferentes representações de uma ideia destacam diferentes aspectos, favorecendo assim uma análise mais completa da situação em estudo.

Os alunos, ao tirar vantagem desta possibilidade, podem dedicar-se aos aspectos mais interessantes da modelação. Ficam livres para experimentar diversos cenários de uma mesma situação, testar a razoabilidade do modelo, aperfeiçoá-lo, usá-lo para fazer previsões e para tomar decisões.

A utilização destes instrumentos permite ainda considerar actividades de modelação diversificadas. Os alunos tanto podem construir o modelo com base na interpretação da situação, como podem pedir ao computador que encontre ele o modelo que melhor se ajusta a um conjunto de dados, como podem ainda explorar uma situação, usando para isso uma simulação previamente programada no computador.

d) Discussão

A utilização do computador e da calculadora proporcionam um ambiente de trabalho que estimula o desenvolvimento da discussão, que pode ocorrer entre os alunos num grupo de trabalho, entre diversos grupos da turma, ou entre a turma inteira e o professor.

Utilizado em trabalho de grupo, o computador favorece o surgimento de oportunidades de discussão e comunicação e contribui para o desenvolvimento do espírito de cooperação entre os alunos. Quando três alunos usam o mesmo computador para realizar uma actividade de investigação, a interacção entre eles surge naturalmente. É preciso decidir quais as experiências a fazer, conversar sobre os resultados que se vão obtendo, discutir as conclusões que se poderão estabelecer, tentar perceber as situações inesperadas que tantas vezes surgem.

Também na resolução de problemas em grupo se torna importante a discussão. A estratégia de resolução deve ser definida entre todos os alunos antes de se passar para a utilização da calculadora ou do computador. Estes instrumentos tornam viável a exploração de alternativas. Os resultados obtidos devem ser interpretados para se chegar a uma conclusão comum.

A interacção entre os diversos grupos da turma é igualmente promovida pela utilização das tecnologias. O facto de os grupos trabalharem de uma forma independente uns dos outros nos computadores faz com que se torne mais interessante a troca entre eles. Este contexto deve ser aproveitado pelo professor, estabelecendo momentos de discussão na turma.

Estas discussões podem servir para criar consensos e construir generalizações a partir dos trabalhos realizados pelos diversos grupos. Podem também visar a exploração de ideias interessantes sugeridas por um grupo. E podem, naturalmente, envolver toda a turma no aprofundamento de alguma ideia ou noção que o professor quer esclarecer.

As discussões colectivas conduzidas pelo professor são um momento muito importante no estabelecimento de conhecimento matemático na turma. Além disso, as discussões constituem uma oportunidade para o professor avaliar a compreensão dos alunos acerca dos mais diversos assuntos, bem como a eventual existência de concepções erróneas, ideias erradas ou formas inadequadas de expressão dos conceitos matemáticos.



e) Jogos

A utilização dos jogos no ensino da Matemática é especialmente favorecida pela calculadora e pelo computador. Estes instrumentos possibilitam a criação de jogos de diversos tipos, que para além de terem associado o factor de motivação que geralmente suscitam nos alunos, permitem o desenvolvimento de importantes ideias matemáticas.

As calculadoras têm inspirado inúmeros jogos sendo alguns deles bastante conhecidos, como é o caso do jogo do intervalo17. Dum modo geral, estes jogos visam o desenvolvimento de capacidades associadas aos números, como seja realizar estimativas, calcular valores aproximados por defeito ou por excesso, perceber como funcionam as operações. Na sua maior parte, são para dois jogadores ou duas equipas, mas também existem algumas propostas para toda a turma. Alguns jogos exigem também a utilização de outros materiais como cartas ou cartões especiais. Uma grande vantagem destes jogos é que as suas regras são geralmente flexíveis e podem ser alteradas de modo a tornarem-se mais adaptadas à situação.

Os computadores têm originado outro tipo de jogos, muitas vezes tirando partido das suas possibilidades de simulação de um determinado fenómeno. Normalmente, os jogos em computador incidem sobre um conteúdo específico da Matemática, como seja o caso da corrida de automóveis, que tem subjacente o valor de posição dos números, ou o caso do Trinca-Espinhas18, que explora os conceitos de divisor e de número primo.

Quer os jogos de computador quer os das calculadoras implicam muitas vezes a construção de estratégias ganhadoras ou optimizadoras do resultado, contribuindo assim também para o desenvolvimento do raciocínio estratégico dos alunos.

f) Trabalho de Projecto

O trabalho de projecto é um tipo de actividade bastante importante do ponto de vista da formação dos alunos, que tem vindo a ser cada vez mais valorizado nos últimos anos19. Envolve a determinação de um objectivo por parte dos alunos, a definição da estratégia e métodos de trabalho a adoptar, a sua realização, muitas vezes com recolha de dados documental ou no terreno, e a conclusão e divulgação dos resultados.



As novas tecnologias de informação contribuem para facilitar e melhorar a qualidade do trabalho a realizar em algumas destas etapas. As calculadoras e os computadores podem ter um papel decisivo na concretização de parte ou da totalidade das tarefas do projecto, auxiliando quer na obtenção de informação, no estudo estatístico de uma situação, na modelação de um determinado fenómeno, na exploração de uma ideia ou na apresentação de resultados.

Com este fim, podem ser usadas ferramentas informáticas diversas ou até linguagens de programação. Na fase de divulgação escrita e oral, o computador oferece o processamento de texto para a realização do relatório e os programas de gráficos ou de desenho para ilustrar convenientemente e de forma atraente e cuidada os aspectos que se querem destacar20.



4.2.4 Comunicação e ambiente da aula de Matemática

A comunicação matemática na sala de aula é um dos aspectos que nos últimos tempos mais atenção tem vindo a merecer no conjunto das orientações curriculares (APM, 1988; NCTM, 1991), tendo assinalável destaque nos programas portugueses em vigor. Também aqui a calculadora e o computador podem ter um papel importante, pois ajudam a criar uma nova dinâmica na sala de aula, favorável ao desenvolvimento da comunicação matemática, quer oral quer escrita, e à criação de um ambiente de trabalho estimulante. Essa dinâmica resulta do conjunto de possibilidades que as novas tecnologias abrem em termos das actividades que podem ser valorizadas, das metodologias de trabalho que podem ser adoptadas, dos papéis que tanto o aluno como o professor podem ter na aula de Matemática.

A expressão oral por parte dos alunos não tem sido muito valorizada nas aulas de Matemática. Muitos apenas intervêm oralmente para pedir o esclarecimento de dúvidas, outros raramente se manifestam. Os registos em papel e lápis são, em geral, suficientes para a realização do trabalho exigido. Mas um caderno de Matemática cheio de definições e propriedades, seguidas de páginas de resoluções de exercícios não garante a fluência desejável na capacidade de expressão e raciocínio matemático. A comunicação oral na aula, confrontando ideias e modos de as representar, é imprescindível para que todos os alunos tenham oportunidade de participar e de dar sentido ao conhecimento matemático que vai sendo construído.

A comunicação na aula é determinante naquilo que os alunos aprendem acerca da disciplina, não só sobre os conteúdos matemáticos mas também sobre a natureza da própria Matemática. É através da comunicação que os alunos tomam consciência dos processos de construção e validação do conhecimento matemático, que aprendem as razões que fazem com que algo tenha ou não sentido, seja ou não verdade em Matemática.

O discurso implica aspectos fundamentais do conhecimento: O que faz com que algo seja verdade ou plausível em Matemática? Como se pode descobrir se uma coisa faz ou não sentido? Que uma coisa é verdade porque o livro ou o professor o dizem, é o argumento básico no discurso de muitas aulas tradicionais. Uma outra visão, aquela que é avançada aqui, centra-se no raciocínio e evidência matemática como base do discurso. Para que os alunos desenvolvam a capacidade de formular problemas, de explorar, conjecturar, e raciocinar logicamente, de avaliar se uma coisa faz sentido, o discurso na aula deve estar baseado na evidência matemática. (NCTM, 1994, p. 36)

A calculadora e o computador facilitam a criação deste ambiente de trabalho, incentivando a formulação de conjecturas por parte dos alunos, estimulando uma postura investigativa, enriquecendo o tipo de dados e de argumentos que os alunos podem usar, e a sua capacidade de reacção aos argumentos matemáticos dos outros.

Os alunos podem tirar partido de um ecrã de computador ou uma calculadora gráfica para transmitir as suas ideias aos colegas e ao professor. Esta possibilidade pode ser particularmente importante para alunos mais tímidos ou com mais dificuldades de expressão.

Uma outra componente da comunicação matemática que deve ser incentivada é a escrita. Quando os alunos têm a possibilidade de fazer os seus textos no computador (por exemplo, um relatório sobre o trabalho realizado) podem produzir materiais de qualidade superior, no qual podem introduzir figuras, gráficos, esquemas, tabelas e outros elementos que facilitam a comunicação.

4.2.5 Avaliação

A calculadora e o computador têm naturalmente implicações na avaliação das aprendizagens dos alunos. Se os alunos usam os recursos tecnológicos no processo de ensino-aprendizagem, devem poder também usá-los em situações de avaliação. Se se aceita que um aluno possa usar uma régua num teste para traçar um segmento de recta, de igual modo se deve aceitar que ele use a calculadora para obter um valor necessário ou recorra ao computador para testar as consequências de um modelo.

Na prática pedagógica, a avaliação tende ainda a ser encarada de uma forma essencialmente classificativa e negativa. Procura-se situar os alunos numa dada escala, tendo sobretudo em consideração o que eles não sabem ou não são capazes de fazer. A avaliação deve, no entanto, tomar um carácter mais positivo. As actividades de avaliação têm de ser repensadas em função dos novos objectivos da educação matemática.

A avaliação dos alunos exclusivamente através de testes com exercícios rotineiros, mais ou menos complicados, não fornece elementos suficientes para conhecer os seus progressos e dificuldades. Os momentos e as actividades de avaliação precisam de ser diversificados, incluindo, por exemplo, apresentações orais e relatórios escritos, de modo a permitir avaliar toda uma variedade de conhecimentos, capacidades, atitudes e valores que constituem os objectivos programáticos.

As novas tecnologias revelam-se particularmente úteis na avaliação de capacidades que de outro modo seriam mais difíceis de detectar. A sua utilização permite que um aluno ou grupo de alunos possa revelar a sua capacidade de modelar situações da vida real, de resolver problemas, de realizar actividades de natureza investigativa, seja num teste, num trabalho de grupo, num trabalho individual ou em qualquer outra situação que o professor considere adequada.

A utilização das calculadoras e do computador na avaliação amplia o leque de aprendizagens que podem ser avaliadas nos alunos. Isto é muito importante para os alunos que, apesar de terem dificuldades com abordagens mais formais, conseguem trabalhar de forma mais intuitiva e experimental com ideias e conceitos importantes da Matemática. Este aspecto deve ser valorizado, pois oferece possibilidade a um maior número de alunos de ser bem sucedido em Matemática.

A utilização do computador estimula também uma atitude mais positiva e formativa em relação à avaliação. O trabalho realizado pelos alunos num dado momento pode ser gravado numa disquete e facilmente recuperado e alterado sem ter que recomeçar tudo do princípio. Isto faz com que seja natural pensar que um trabalho ainda insatisfatório pode ser melhorado. As produções dos alunos, em particular os seus relatórios escritos, podem assim ser objecto de sucessivos aperfeiçoamentos, marcando de alguma forma a sua evolução.




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