0. – Método da Energia. Teorema de Castigliano. P2 P



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10.5 – Método da Energia. Teorema de Castigliano.


P2



P1
A energia armazenada sob a forma potencial elástica em uma viga carregada iguala o valor do trabalho realizado pelos esforços (forças e momentos) ao se deslocarem em suas direções pela deformação da estrutura (por deslocamentos lineares ou angulares, respectivamente).


Assim, para a viga bi-apoiada mostrada na fig. 5.3, submetida, para exemplificar, às duas forças P1 e P2 assinaladas, cujos pontos de aplicação se deslocam nas distâncias f1 e f2, respectivamente, quando a viga se deforma, produzindo tais flechas, a energia U armazenada (igual ao trabalho das forças aplicadas de forma gradativa, crescendo de zero até seu valor final) será dada por:


P1



Fig. 10.3 – Método da Energia.

U = ½ P1 f1 + ½ P2 f2 .................................................................................. (a)


Se, após as forças P1 e P2 atingirem seus valores finais, admitirmos que um pequeno incrementoP1 fosse dado ao valor de P1, tal acréscimo provocará pequenas variações nas flechas (f1 e f2), acarretando um incremento na energia armazenada, de valor:

U = ½ P1 f1 + P1 f1 + P2 f2 ..................................................................(b)


Se, ao contrário, a ordem do carregamento fosse invertida, carregando inicialmente a força incremental P1 e, em seguida, aplicando as forças P1 e P2, teríamos ao final:
U + U = ½ P1 f1 + P1 f1 + ½ P1 f1 + ½ P2 f2 ..........................................(c)

Como a energia de deformação deve ser a mesma, independentemente da ordem de aplicação das forças, da igualdade (a) + (b) = (c) tiramos:


P1 f1 + P2 f2 = P1 f1 , que, levada em (b) nos fornece: U = ½ P1 f1 + P1 f1,

ou seja: f1 = U / P1 – ½ f1. No limite, quando P1 → 0, tornando f1 → 0, e considerando que U é função tanto de P1 como de P2 teremos:
f1 = U/P1 ................................................................... (10.3)
A equação acima permite calcular a flecha f1 em uma dada seção de uma viga submetida a um carregamento qualquer, admitindo-se a existência de uma força concentrada P1 aplicada exatamente na seção em que se quer determinar a flecha, bastando para tal estabelecer a expressão da energia U decorrente do carregamento (incluindo a tal força P1) e computando-se sua derivada parcial em relação à P1 e, ao final, fazendo P1 = 0 (se não existir força concentrada na seção que se quer determinar a flecha).


A energia U armazenada em uma viga, submetida à flexão reta cujo momento fletor M = M(x) é conhecido em cada seção, será determinada por integração ao longo do volume V da peça, levando em conta que:

U = ½E) dV.

Como na flexão reta, = (M/I)y, e fazendo dV = dA dx, teremos:

U = (1/2E)MI2)y2 dA dx.

Efetuando a primeira integração ao longo de uma dada seção (onde M, I e dx são invariantes), temos:

= (1/2E) MI) dx



dx


y

dA


Fig. 10.4 – Energia na Flexão.

U = (1/2E)MI2) dx y2 dA, onde y2 dA = I, obtendo-se finalmente:



U = (1/2E)MI) dx ........................................................................................ (10.4)
Efetuando a derivação parcial proposta em 10.3 teremos:
f1 = (1/E) MI) M/P1 dx ........................................................ (10.5)
Uma dedução análoga seria feita para estabelecer a expressão que permite calcular o ângulo de inclinação da linha elástica numa dada seção, imaginando a existência de um conjugado de momento M1 aplicado na seção correspondente, computando a energia total armazenada em função do carregamento (e do momento aplicado), efetuando a derivação parcial e, ao final, fazendo M1 = 0:

w
1 = U/M1 = (1/E) MI) M/M1 dx ........................................ (10.6)

Exemplo 8: Determinar, utilizando o método da energia, a flecha f e o ângulo de deflexão na extremidade em balanço da viga engastada submetida a um carregamento linearmente distribuído, variando entre zero na extremidade livre e w no engaste.

Solução: acrescentando ao carregamento real q(x) = w(L-x)/L, sucessivamente, uma força P1 e um momento M1, aplicados na extremidade em balanço onde se quer determinar a flecha e a declividade da linha elástica, teremos para equação de momentos (tracionando as fibras superiores da viga):

M(x)=-{½[w(L–x)/L](L–x)[⅓(L-x)]+P1(L–x)+M1};

M(x) = - {1/6[(w/L)(L – x)3 + P1 (L –x) + M1).



L


w

P1

w (L -x) / L

x


M1

f1

1


Para o cálculo da flecha f1 teremos M/P1 = - (L –x) e fazendo P1 = M1 = 0,

f1 = (1/E)MI) M/P1 dx = (1/EI){1/6[(w/L)(L – x)4dx = (w/30LEI)[(L –x)5]oL = - wL4 / 30EI

Para o cálculo da declinação 1, teremos M/M1 = -1 e fazendo M1 = 0,

1 =(1/E)MI) M/M1 dx = (1/EI){1/6[(w/L)(L – x)3dx = (w/24LEI)[(L –x)4]oL = - wL3 / 24EI





10.6 – Método da Superposição.
A linearidade da relação entre esforços e deformações nas estruturas que trabalham na fase elástica permite aplicar o princípio da superposição dos efeitos, computando-se o valor global da deformação para um carregamento complexo, como sendo o resultado da soma algébrica das deformações causadas pelas cargas, como se tivessem sido aplicadas isoladamente.

Realmente: se para um esforço F1 (força ou momento) corresponder uma deformação x1 (linear ou angular) para a qual se puder escrever, segundo a Lei de Hooke, que F1 = K x1, para um outro esforço F2 teremos que F2 = K x2. Adicionando tais resultados obtemos F1 + F2 = K (x1 + x2), ou seja, se encararmos a superposição dos esforços F1 + F2 como um terceiro esforço F3, a deformação correspondente x3 = x1 + x2.

A seguir são apresentados alguns exemplos de valores para as constantes elásticas K de estruturas elásticas equiparadas a “molas”, sendo F um esforço (força ou momento) e x uma deformação (linear ou angular), tais que se possa escrever F = Kx.


Tipo de Solicitação

Esquema

K da “Mola”(F/x)

Barra de Tração






F

F

L

x

A

E



K = E A / L





Barra de Torção






F

x

L

F


G

D




K = GD4/32L





M
F


ola de Torção



d


F

R

n espiras



G


K = G d4/64 n R3



Barra Chata de Flexão






L

F

b

h

E

x

2a

F



K = E b h3 / 4 L3


Feixe de Mola

Flexão




4a

6a

x



K = 8 E b h3 / 37 a3





10.7- Vigas estaticamente indeterminadas.

A possibilidade de se calcular as deformações da linha elástica nas vigas submetidas à flexão reta nos permite levantar a indeterminação para o cálculo das reações nos apoios das vigas hiperestáticas, bastando para tal utilizar-se das equações de compatibilidade de deslocamento, como realizado na solução dos problemas estaticamente indeterminados para as solicitações anteriormente estudadas.


q

MA
Os exemplos a seguir apresentam caminhos para a determinação dos esforços vinculares de vigas hiperestáticas, utilizando os vários métodos para cálculo de flechas e deflexões angulares.


Exemplo 9: Traçar os diagramas de esforços solicitantes da viga de comprimento L, engastada em uma extremidade e apoiada na outra, submetida a uma carga uniformemente distribuída q. Supondo tratar-se de uma viga de concreto, estabelecer a extensão para distribuição da armadura de aço ao longo de seu comprimento (atendendo à circunstância de estar posicionada sempre no lado tracionado da viga).

Solução: Admitindo que o apoio B à direita não existisse, a flecha f1 provocada pelo carregamento distribuído na extremidade livre seria:

f1 = - qL4 / 8EI .......................................(exemplo 7);

Se na extremidade livre atuasse uma força vertical B, esta provocaria ali uma flecha f2 dada por:

f2 = + BL3 / 3EI ......................................(exemplo 2).

A existência do apoio em B implica em ser nula a flecha nessa extremidade, o que nos leva a:

BL3 / 3EI = qL4 / 8EI, e B = (3/8)qL. Das equações da Estática correspondentes ao equilíbrio de forças e momentos obtemos: A = (5/8)qL e MA = -qL2 / 8.

Levantada a indeterminação hiperestática, podemos traçar os diagramas de cortante e momento fletor, verificando-se que a força cortante se anula na seção distante 5L/8 do engastamento, onde atuará o momento fletor máximo positivo (M+) = (3/8)qL(3L/8) – ½ qL[(3L/8)2= (9/128)qL2

O momento máximo negativo será: (M-) = MA =

= (3/8) qL (L) – ½ qL2 = - qL2 / 8 = - (16/128) qL2

A equação do momento fletor em função da ordenada x da seção (contada a partir do apoio da direita B*), será:

M = M(x) = (3/8) qLx – ½ (qx2), que se anula (invertendo o sinal do momento) na seção x = (3/4)L , seção na qual a armadura de ferro numa viga de concreto armado, passaria da face inferior para a superior.

A equação da elástica será obtida integrando:

d2f / dx2 = ddx = M/EI = (l / EI)(3qLx/8 - ½ qx2), ou

(x) = (1/EI) (3qLx2/16 - qx3/6 ) + C1. Como no engastamento (x=L), tiramos C1 = - qL3/48EI (que corresponde ao ângulo da elástica no apoio B). Computando o valor de x que torna nula a declinação obtem-se:

x =(1 + √33)L/16 = 0,42154L, seção onde ocorre a fmáx.

Integrando =df/dx obtem-se f =(q/48EI)(-2x4 + 3Lx3-L3x), que, para x = 0,42154L fornece fmáx =qL4/185EI.



* - a inversão do sentido positivo para a ordenada x implica na troca dos sinais para as flechas f e os ângulos




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